ГЛОБАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

- риманово многообразие М, каждая точка рк-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой ннволютивной нзометрии S_p многообразия М, т. е. есть тождественное преобразование. Пусть G - компонента единицы группы изометрий пространства Ми К - стационарная подгруппа точки р. Тогда Мявляется однородным пространством, и отображение есть инволютивный автоморфизм группы G, причем Ксодержится в замкнутой подгруппе всех неподвижных точек автоморфизма Ф и содержит компоненту единицы группы .

Пусть - вещественная алгебра Ли, - ее инво-лютнвный автоморфизм и k - подалгебра в g, состоящая из всех -неподвижных элементов. Рассмотрим связную подгруппу Кприсоединенной группы , соответствующую подалгебре k. Если группа Ккомпактна, то kназ. компактно вложенной подалгеброй алгебры , а пара наз. ортогональной симметрической алгеброй Ли. Пусть g=k+m - разложение на собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и -1. Пара () наз.: а) алгеброй компактного типа, если gкомпактна и полупроста; б) алгеброй некомпактного типа, если g=k+m есть Картана разложение;в) алгеброй евклидова типа, если m - абелев идеал в g. Пусть () - ортогональная симметрия, алгебра Ли и g=k+m - указанное разложение. Обозначим через подмножество k+im комплексной оболочки алгебры g. Отображение

есть инволютивный автоморфизм алгебры и ( ) есть ортогональная симметрич. алгебра Ли, к-рая наз. двойственной к алгебре (). Если () - алгебра компактного типа, то () - алгебра некомпактного типа, и наоборот.

Каждое Г. с. р. п. порождает ортогональную симметрич. алгебру Ли (), где g - алгебра Ли группы G, а ( е - единица группы). наз. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом порождаемой им пары (). Каждое односвязное Г. с. р. п. Мявляется прямым произведением: где - евклидово пространство, и - Г. с. р. п. компактного и некомпактного типа соответственно. Для всякого пространства некомпактного типа кривизна в любом двумерном направлении неположительна, а для пространств компактного типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое пространство некомпактного типа диффеоморфно евклидову пространству.

Пусть - Г. с. р. п. компактного или некомпактного типа. Рангом lпространства Мназ. максимальная размерность плоского вполне геодезич. подмногообразия в М. Пусть - два плоских вполне геодезич. подмногообразия пространства Мразмерности и X - касательный вектор к Мв точке q. Тогда: 1) существует такой элемент что и ; 2) существует такой элемент , что и - касательный вектор к Ав точке q.

Пусть - ортогональная симметрич. алгебра Ли, a kи т - собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и - 1. Алгебра наз. неприводимой, если выполняются условия: 1) gполупроста и kне содержит ненулевых идеалов алгебры g;2) алгебра неприводимым образом действует на т. Г. с. р. п. G/K наз. неприводимым, если порождаемая им ортогональная симметрич. алгебра Ли неприводима. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли и наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм алгебры на , что . Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точностью до пзометрии эквивалентна классификации неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с точностью до изоморфизма.

Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли компактного типа суть: I. , где - компактная простая алгебра Ли и - любой ее инволютивный автоморфизм; II. (), где компактная алгебра gявляется прямой суммой двух простых идеалов, к-рые переставляются при помощи автоморфизма .

Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли некомпактного типа суть: III. (), где g - простая некомпактная алгебра Ли над , комплексная оболочка к-рой является простой алгеброй Ли над , а - такой инволютивный автоморфизм алгебры , что его неподвижные точки составляют максимальную компактно вложенную подалгебру; IV. (), где - простая алгебра Ли над , рассматриваемая как вещественная алгебра Ли, а - сопряжение алгебры gпо отношению к максимальной компактно вложенной подалгебре k, т. е. отображение Кроме того, если обозначить через алгебру, двойственную к (g,j), то (g,j) типа III и IV, если типа I и II соответственно, и наоборот.

С каждой неприводимой ортогональной симметрич. алгеброй некомпактного типа связано в точности одно Г. с. р. п., причем это пространство односвязно. Для компактных алгебр решение соответствующей задачи значительно сложнее. Достаточно рассмотреть типы I и II. Г. с. р. п., связанные с алгебрами типа II,- это в точности компактные связные простые группы Ли, снабженные римановой структурой, инвариантной относительно левых и правых сдвигов. Задача классификации Г. с. р. п., связанных с алгебрами типа I, с точностью до локальных изометрий равносильна задаче классификации инволютивных автоморфизмов простых компактных алгебр Ли. Глобальная классификация симметрических римановых пространств, связанных с данной ортогональной симметрич. алгеброй компактного типа, решается следующей теоремой.

Пусть - ортогональная симметрич. алгебра компактного типа, причем подалгебра k неподвижных точек автоморфизма не содержит идеалов алгебры g, отличных от . Пусть - односвязная группа Ли с алгеброй Ли - центр группы - такой автоморфизм группы , что и - множество всех неподвижных точек автоморфизма Ф. Для произвольной подгруппы Sгруппы положим Г. с. р. п. М, связанные с , совпадают с пространствами вида где снабженными любой G-инвариантной метрикой. Здесь Sпробегает все подгруппы группы , а пробегает все такие подгруппы в что

Лит.: [1] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [2] Loos О., Symmetric spaces, v. 1-2, N.Y.- Amst., 1969.

А. С. Феденко.