Формула Полной Вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, и полная группа событий $\{B_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}$, таких что $\mathbb{P}(B_n) > 0\; \forall n$. Пусть $A \in \mathcal{F}$ суть интересующее нас событие. Тогда

$\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}( A \mid B_n) \mathbb{P}(B_n)$.

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N - случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)$.

Тогда

$\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]$,

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность;
• Условное математическое ожидание;
• Теорема Байеса.