- Условное матожидание
-
Усло́вное математи́ческое ожида́ние в теории вероятностей - это среднее значение случайной величины относительно условного распределения.
Содержание
Определения
Будем считать, что дано вероятностное пространство
. Пусть
- интегрируемая случайная величина, то есть
. Пусть также
- под-σ-алгебра σ-алгебры
.
УМО относительно σ-алгебры
Случайная величина
называется условным математическим ожиданием X относительно σ-алгебры
, если
измерима относительно
.
,
где
- индикатор события A. Условное математическое ожидание обозначается
.
Пример. Пусть
Положим
. Тогда
- σ-алгебра, и
. Пусть случайная величина X имеет вид
.
Тогда
УМО относительно семейства событий
Пусть
- произвольное семейство событий. Тогда условным математическим ожиданием X относительно
называется
,
где
- минимальная сигма-алгебра, содержащая
.
Пример. Пусть
Пусть также C = {1,2,3}. Тогда
. Пусть случайная величина X имеет вид
.
Тогда
УМО относительно случайной величины
Пусть
другая случайная величина. Тогда условным математическим ожиданием X относительно Y называется
,
где σ(Y) - σ-алгебра, порождённая случайной величиной Y.
Другое определение УМО X относительно Y:
Такое определение конструктивно описывает алгоритм нахождения УМО:
- найти математическое ожидание случайной величины X, принимая Y за константу y;
- Затем в полученном выражении y обратно заменить на случайную величину Y.
Пример:
Условная вероятность
Пусть
- произвольное событие, и
- его индикатор. Тогда условной вероятностью B относительно
называется
.
Замечания
- Условное математическое ожидание - это случайная величина, а не число!
- Условное математическое ожидание определено с точностью до событий вероятности нуль. Таким образом, если
и
-почти всюду, то
. Отождествив случайные величины, различающиеся лишь на событиях вероятности нуль, получаем единственность условного математического ожидания.
- Взяв A = Ω, получаем по определению:
,
и в частности справедлива формула полной вероятности:
.
- Пусть σ-алгебра
порождена разбиением
. Тогда
.
В частности формула полной вероятности принимает классический вид:
,
а следовательно
.
Основные свойства
- Если
, то существует борелевская функция
, такая что
.
Условное математическое ожидание X относительно события {Y = y} по определению равно
.
- Если
п.н., то
п.н.
- Если X независима от
, то
п.н.
В частности, если X,Y независимые случайные величины, то
п.н.
- Если
- две σ-алгебры, такие что
, то
.
- Если X -
-измерима, и Y - случайная величина, такая что
, то
.
- "Математическое ожидание убирает условие". Это правило верно для УМО относительно случайной величины (УМО в таком случае будет случайной величиной) и для условной вероятности относительно случайной величины
.
Дополнительные свойства
- Теорема Леви о монотонной сходимости;
- Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
- Лемма Фату;
- Неравенство Йенсена.
УМО для дискретных величин
Пусть Y - дискретная случайная величина, чьё распределение задаётся функцией вероятности
. Тогда система событий {Y = yj} является разбиением Ω, и
,
а
,
где
означает математическое ожидание, взятое относительно условной вероятности
.
Если случайная величина X также дискретна, то
,
где
- условная функция вероятности случайной величины X относительно Y.
УМО для абсолютно непрерывных случайных величин
Пусть X,Y - случайные величины, такие что вектор
абсолютно непрерывен, и его распределение задаётся плотностью вероятности fX,Y(x,y). Введём условную плотность
, положив по определению
,
где fY - плотность вероятности случайной величины Y. Тогда
,
где функция h имеет вид
.
В частности,
.
УМО в L2
Рассмотрим пространство случайных величин с конечным вторым моментом L2. В нём определены скалярное произведение
,
и порождённая им норма
.
Множество всех случайных величин
с конечным вторым моментом и измеримых относительно
, где
, является подпространством L2. Тогда оператор
, задаваемый равенством
,
является оператором ортогонального проектирования на
. В частности:
- Условное математическое ожидание
- это наилучшее средне-квадратичное приближение X
-измеримыми случайными величинами:
.
- Условное математическое ожидание сохраняет скалярное произведение:
.
- Условное математическое ожидание идемпотентно:
.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.