Теорема Байеса

Теорема Байеса

Теорема Байеса (или формула Байеса) — одна из основных теорем теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь её автора, преп. Томаса Байеса (посвящённая ей работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году,[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Психологические эксперименты[2] показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка обоснования оценки (англ.)русск.), и потому результаты по формуле Байеса и правильные результаты могут сильно отличаться от ожидаемых.

Содержание

Формулировка

Формула Байеса:

P(A|B) = \frac{P(B | A)\, P(A)}{P(B)},

где

P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
P(A|B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B|A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) — полная вероятность наступления события B.

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Следствие

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

P(B)=\sum_{i=1}^N P(A_i)P(B|A_i) — вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез A_i, если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

Пример

Событие B — в баке нет бензина, событие A — машина не заводится. Заметим, что вероятность Р(А|В) того, что машина не заведется, если в баке нет бензина, равняется единице. Тем самым, вероятность Р(В) того, что в баке нет бензина, равна произведению вероятности Р(А) того, что машина не заводится, на вероятность P(B|A) того, что причиной события А стало именно отсутствие бензина (событие В), а не, к примеру, разряженный аккумулятор.

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего p_1=0{,}9, у второго рабочего — p_2=0{,}5, а у третьего — p_3=0{,}2. Первый изготовил n_1 = 800 деталей, второй — n_2=600 деталей, а третий — n_3=900 деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие B — брак детали, событие A_i — деталь произвёл рабочий i. Тогда P(A_i)=n_i/N, где N=n_1+n_2+n_3, а P(B|A_i)=p_i. По формуле полной вероятности

P(B)=\sum_{i=1}^3 P(B|A_i)P(A_i).

По формуле Байеса получим:

P(A_3|B)=\frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)}=\frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}==\frac{p_3 n_3/N}{p_1n_1/N+p_2n_2/N+p_3n_3/N}=\frac{0{,}2\cdot900/2300}{0{,}9\cdot800/2300+0{,}5\cdot600/2300+0{,}2\cdot900/2300}=0{,}15.

См. также

Примечания

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Байеса" в других словарях:

  • ТЕОРЕМА БАЙЕСА — (Bayes theorem) теорема, устанавливающая вероятность наступления одного события, если произошло другое. Статистика Байеса касается изменения умозаключений по мере поступления новой информации, то есть гипотезы вырабатываются, проверяются и… …   Большой толковый социологический словарь

  • ТЕОРЕМА БАЙЕСА — Соотношение различных предполагаемых вероятностей различных событий, которое дает вероятность, что какое то событие (А) является результатом (X) ряда независимых друг от друга событий (Б, В, Г...), который, возможно, привел к А. Теорема… …   Толковый словарь по психологии

  • Теорема о конце света — Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей. Теорема о конце света (Doomsday argument, сокращённо далее DA, нет устоявшегося перевода на русский язык, обычно используют английское …   Википедия

  • Байеса теорема —         теорема теории вероятностей, см. Бейеса теорема …   Большая советская энциклопедия

  • Формула Байеса — Теорема Байеса одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно… …   Википедия

  • Формулы Байеса — Теорема Байеса одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно… …   Википедия

  • Байеса теорема — …   Википедия

  • Света аргумент — Теорема о конце света (Doomsday argument, сокращённо далее DA, нет устоявшегося перевода на русский язык, обычно используют английское название или сокращение DA)  это вероятностное рассуждение, которое претендует на то, чтобы предсказывать… …   Википедия

  • Байесовская вероятность — Байесовская вероятность  это интерпретация понятия вероятности, используемое в байесовской теории. Вероятность определяется как степень уверенности в истинности суждения. Для определения степени уверенности в истинности суждения при… …   Википедия

  • Байес — Байес, Томас Томас Байес Reverend Thomas Bayes Дата рождения: 1702 год(1702) Место рождения …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»