- «O» большое и «o» малое
-
«O» большое и «o» малое ( и ) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также в информатике и теории алгоритмов.
, «о малое от » обозначает «бесконечно малое относительно »[1], пренебрежимо малую величину при рассмотрении . Смысл термина «О большое» зависит от его области применения, но всегда растёт не быстрее, чем , «O большое от » (точные определения приведены ниже).
В частности:
- фраза «сложность алгоритма есть O(n!)» означает, что с увеличением параметра n, характеризующего количество входной информации алгоритма, время работы алгоритма растёт не быстрее, чем пропорционально n!;
- фраза «функция является „о“ малым от функции в окрестности точки » означает, что с приближением к уменьшается быстрее, чем (отношение стремится к нулю).
Содержание
Определения
Пусть и — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки , причем в этой окрестности не обращается в ноль. Говорят, что:
- является «O» большим от при , если существует такая константа , что для всех из некоторой окрестности точки имеет место неравенство
- ;
- является «о» малым от при , если для любого найдется такая проколотая окрестность точки , что для всех имеет место неравенство
Иначе говоря, в первом случае отношение в окрестности точки ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .
Обозначение
Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))).
Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.
В частности, можно писать
- f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))),
но выражения
- O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x))
бессмысленны.
Другой пример: при x → 0 верно, что
- O(x²) = o(x),
но неверно, что
- o(x) = O(x²).
Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть, используя запись в форме
- x² + x³ ∈ O(x²)
или
вместо, соответственно,
- x² + x³ = O(x²)
и
Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном, в простейших случаях.
При использовании данных обозначений должно быть явно оговорено (или очевидно из контекста), о каких окрестностях (одно- или двусторонних; содержащих целые, вещественные или комплексные числа и т. п.) и о каких допустимых множествах функций идет речь (поскольку такие же обозначения употребляются и применительно к функциям многих переменных, к функциям комплексной переменной, к матрицам и др.).
Другие подобные обозначения
Для функций f(n) и g(n) при n → n0 используются следующие обозначения:
Обозначение Интуитивное объяснение Определение ограничена сверху функцией (с точностью до постоянного множителя) асимптотически ограничена снизу функцией (с точностью до постоянного множителя) асимптотически ограничена снизу и сверху функцией асимптотически доминирует над асимптотически доминирует над асимптотически эквивалентна асимптотически где U — проколотая окрестность точки n0.
Основные свойства
Транзитивность
Рефлексивность
Симметричность
Перестановочная симметрия
Другие
- const × o(f) = o(f); const × O(f) = O(f);
- o(const × f) = o(f); O(const × f) = O(f);
- o(f) + o(f) = o(f); o(f) + O(f) = O(f); O(f) + O(f) = O(f);
- O(f) × O(g) = O(fg); o(f) × O(g) = o(fg); o(f) × o(g) = o(fg);
- O(O(f)) = O(f);
- o(o(f)), o(O(f)), O(o(f)) = o(f);
- o(-f) = o(f), O(-f) = O(f) (следствия из п. 2)
Асимптотические обозначения в уравнениях
- Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например n = O(n²)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (n ∈ O(n²)).
- Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x → 0 формула обозначает, что , где — функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству . Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, — содержит только одну функцию из класса .
- Если асимптотические обозначения встречаются в левой части уравнения, используют следующее правило:
какие бы мы функции не выбрали (в соответствии с предыдущим правилом) взамен асимптотических обозначений в левой части уравнения, можно выбрать функции вместо асимптотических обозначений (в соответствии с предыдущим правилом) в правой части так, что уравнение будет правильным.
Например, запись обозначает, что для любой функции , существует некоторая функция такая, что выражение — верно для всех . - Несколько таких уравнений могут быть объединены в цепочки. Каждое из уравнений в таком случае следует интерпретировать в соответствии с предыдущим правилом.
Например: . Отметим, что такая интерпретация подразумевает выполнение соотношения .
Приведенная интерпретация подразумевает выполнение соотношения:
- , где A, B, C — выражения, которые могут содержать асимптотические обозначения.
Примеры использования
- ex = 1 + x + x²/2 + O(x³) при x → 0.
- n! = O((n/e)n+1/2) при n → ∞.
- при n → ∞.
- Доказательство:
- Если положить и , то для n≥1 будет выполняться неравенство . Отметим, что нельзя положить , так как и, следовательно, это значение при любой константе больше .
- Функция при n → ∞ имеет степень роста . Чтобы это показать, надо положить и . Можно, конечно, сказать, что имеет порядок , но это более слабое утверждение, чем то, что имеет порядок роста .
- Докажем, что функция при n → ∞ не может иметь порядок . Предположим, что существуют константы и такие, что для всех n ≥ n0 выполняется неравенство 3n ≤ c2n. Тогда c ≥ (3/2)n для всех n ≥ n0. Но (3/2)n принимает любое, как угодно большое, значение при достаточно большом , поэтому не существует такой константы , которая могла бы мажорировать (3/2)n для всех n больших некоторого n0.
- есть при n → ∞. Для проверки достаточно положить . Тогда для .
История
Обозначение «„O“ большое» введено немецким математиком Паулем Бахманом (англ.) во втором томе его книги «Analytische Zahlentheorie» (Аналитическая теория чисел), вышедшем в 1894 году. Обозначение «„о“ малое» впервые использовано другим немецким математиком, Эдмундом Ландау в 1909 году; с работами последнего связана и популяризация обоих обозначений, в связи с чем их также называют символами Ландау. Обозначение пошло от немецкого слова «Ordnung» (порядок).
См. также
Примечания
- ↑ И. А. Шведов. Компактный курс математического анализа. Часть 1. Функции одной переменной. Новосибирск, 2003. С.43.
Литература
- Д. Грин, Д. Кнут Математические методы анализа алгоритмов. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 120 с.
- Дж. Макконелл Основы современных алгоритмов. — Изд. 2 доп. — М.: Техносфера, 2004. — 368 с. — ISBN 5-94836-005-9
- Джон Э. Сэвидж Сложность вычислений. — М.: Факториал, 1998. — 368 с. — ISBN 5-88688-039-9
- В. Н. Крупский Введение в сложность вычислений. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 128 с. — ISBN 5-88688-083-6
- Herbert S. Wilf Algorithms and Complexity.
- Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Глава 3. Рост функций // Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms / Под ред. И. В. Красикова. — 2-е изд. — М.: Вильямс, 2005. — С. 230—204. — ISBN 5-8459-0857-4
- Бугров, Никольский Высшая математика, том 2.
Категории:- Математические обозначения
- Математический анализ
Wikimedia Foundation. 2010.