Формула Тейлора

Формула Тейлора — Пеано Пусть $f:\mathbb C\to \mathbb C$, $z_0$ — предельная точка множества $D_f$ и $z_0\in D_f$. Если функция $f$ $n$-дифференцируема в смысле Ферма — Лагранжа в точке $z_0$, то справедлива формула Тейлора — Пеано

$f(z)=\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} \frac{f^{(k)} (z_0 )(z - z_0 )^k}{k!} + \varepsilon_n (z)(z - z_0 )^n, \forall z \in D_f$

где ε_n(z) - непрерывная в точке z₀ функция и ε_n(z₀)=0. Применим метод математической индукции. Если n=0, то утверждение очевидно при ε_n (z)=f(z)-f(z₀). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀. Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z₀ функция φ, что ∀z∈D_f,

${\rm{f(z) - f(z}}_{\rm{0}} {\rm{) = (z - z}}_{\rm{0}} {\rm{)}}\varphi {\rm{(z) (2)}}$

По предположению

$\varphi {\rm{(z) = }}\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {\varphi ^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}} + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^{n - 1} ,(3)$

где $\varepsilon _{n - 1} (z)$ - непрерывная в точке z₀ функция и $\varepsilon _{n - 1} (z_0 ) = 0$. Из равенств (2) и (3) получаем:

${\rm{f(z) = f}}(z_0 ) + (z - z_0 )(\sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{\rm{f}}^{{\rm{(k)}}} (z_0 ){{(z - z_0 )^k } \over {k!}}} + \varepsilon _n (z)(z - z_0 )^n ) = {\rm{f}}(z_0 ) + \sum\limits_{{\rm{k = 0}}}^{\rm{n}} {{{{\rm{f}}^{{\rm{(k + 1)}}} (z_0 )} \over {k + 1}}{{(z - z_0 )^{k + 1} } \over {k!}}} + \varepsilon _{n - 1} (z)(z - z_0 )^n,$

Что равносильно формуле (1) при $\varepsilon _n = \varepsilon _{n - 1}$

Литература

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.