дифференциальное исчисление

дифференциа́льное исчисле́ние

раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций. Производной функции у = f(х) называется предел отношения приращения Δу = у₁ – у₀ функции к приращению Δх = x₁ – х₀ аргумента при Δх, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Производная обозначается f\'(х) или у\'; т.о., . Дифференциалом функции у = f(х) называется выражение dy = у´dx, где dx = Δх — приращение аргумента х. Очевидно, что у\' = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная f\'(х) имеет, в свою очередь, производную, то её называют второй производной функции f(x) и обозначают f"(х), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(х, у) — функция двух переменных х и у, то, зафиксировав для у какое-либо значение, можно дифференцировать z по х; полученная производная называется частной производной z по х. Аналогично определяются частная производная , частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы. Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что так называемый угловой коэффициент касательной, то есть тангенс угла α (см. рис.) между осью Ох и касательной к кривой у = f(х) в точке М(х₀, у₀), равен значению производной при х = х₀, то есть f\'(х₀). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление) имеет многочисленные применения.

* * *

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИА́ЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.
Производной функции y = f(х) называется предел отношения приращения Dy = y₁ — y₀ функции к приращению Dx = x₁ – x₀ аргумента при Dx, стремящемся к нулю (если этот предел существует). Дифференциалом функции y = f(x) называется выражение dy = yўdx, где dx = Dx — приращение аргумента x. Очевидно, что yў = dy/dx. Отношение dy/dx часто употребляют как знак производной. Вычисление производных и дифференциалов называют дифференцированием. Если производная fў(x) имеет, в свою очередь, производную, то ее называют 2-й производной функции f(x) и обозначают fўў(x), и т. д. Основные понятия дифференциального исчисления могут быть распространены на случай функций нескольких переменных. Если z = f(x,y) — функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое-либо значение, можно дифференцировать z по x; полученная производная dz/dx = fў_x называется частной производной z по x. Аналогично определяются частная производная dz/dy = fў_y, частные производные высших порядков, частные и полные дифференциалы.
Для приложений дифференциального исчисления к геометрии важно, что т. н. угловой коэффициент касательной, т. е. тангенс угла a между осью Ox и касательной к кривой y = f(x) в точке M(x₀, y₀), равен значению производной при x = x₀, т. е. fў(x₀). В механике скорость прямолинейно движущейся точки можно истолковать как производную пути по времени. Дифференциальное исчисление (как и интегральное исчисление (см. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ)) имеет многочисленные применения.