Теорема Коши о среднем значении

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Коши.

Теорема Коши́ о среднем значении.

Пусть даны две функции $\ f(x)$ и $\ g(x)$ такие, что: $\ f(x)$ и $\ g(x)$ определены и непрерывны на отрезке $\ [a,b]$; производные $\ f'(x)$ и $\ g'(x)$ конечны на интервале $\ (a,b)$; производные $\ f'(x)$ и $\ g'(x)$ не обращаются в нуль одновременно на интервале $\ (a,b)$ $g(a) \neq g(b)$; тогда существует $c \in (a,b)$, для которой верно: $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$. (Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале $(a,b)$.)

Геометрически это можно переформулировать так: если $f$ и $g$ задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр $t$), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами $a$ и $b$, найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от $(f(a); g(a))$ до $(f(b); g(b))$.

Доказательство

Для доказательства введём функцию

$F(x) = f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)).$

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны $f(a)$. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка $c$, в которой производная функции $F$ равна нулю, а $\frac {f'(c)} {g'(c)}$ равна как раз необходимому числу.

См. также

• Огюстен Луи Коши
• Формула конечных приращений — частный случай теоремы Коши (при $g(x) = x$).