Числа Какота

Числа Какота

Числа Какота — кардинальные числа, используются при рассмотрении счетности/несчетности элементов множеств. Так натуральные числа — начальный класс, он же — счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Какота. Какот — герой повествования чукотского писателя Юрия Рытхэу. (Кагот искал числа, которые уже не конечные, но еще и не бесконечные, и считал, что тот, кто найдет их, будет счастлив и все узнает). Числа Какота позволяют в примитивной теории множеств сопоставить бесконечному ряду W всех порядковых чисел бесконечный числовой рядо Ω.

Бесконечный ряд W порядковых чисел имеет вид:

W={0,1,2,3,…,n,…; ω,ω+1,ω+2,ω+3,…,ω+n,…; …; ω×n,ω×n+1,ω×n+2,ω×n+3,…,ω×n+n,…; … …; ω1,ω1+1,…; ω2,ω2+1,…; …; ωω,ωω+1,…; …}. Его началом является канторовский бесконечный ряд порядковых чисел со свойствами: за всеми конечными числами n следует наименьшее трансфинитное число ω, которое указывает также количество предшествующих ему конечных чисел. Само же число ω не имеет предшественника, то есть левого соседнего с ним числа ω-1. Любое бесконечное число вида ω, ω×n,ωn, ωω и т. д. является предельным и не имеет предшественника. Не имеют предшественников и все числа, кратные начальной бесконечности ω. Это значит, что перед всеми этими числами есть «дырки». Говорят, что ряд W не имеет наибольшего бесконечного числа. Логически это то же самое, что говорить, что множество конечных натуральных чисел не имеет наибольшего конечного числа.

Бесконечный числовой ряд Ω, свободный от концептуальных противоречий, выглядит следующим образом: Ω={0,1,2,…,N-1; N,N+1,…,2N-1;;…; nN,nN+1,…,(n+1)N-1; ;…; 2N-N,2N-N+1,…,2N-1; ω-=2N,ω-+1,ω-+2,…,ω-n-1,ω-n,ω-n+1,…,ω-1-1,ω-1,ω-1+1,… …,ω0-1,ω0,ω0+1,…,ω1,…,ωi,…,ω+}.

Ряд Ω имеет фундаментальные отличия от ряда W. Он прост по существу: на нем справедливы принципы классической логики и конечной арифметики, его счетное множество является не бесконечным, а конечным, а также ряд Ω не имеет в известном смысле не только наибольшего бесконечного числа, но и наименьшего бесконечного числа: ω-- наименьшей и ω± наибольшей бесконечностей. Его архитектура существенно отличается от архитектуры ряда W и заключается в том, что ряд Ω может быть разбит на пять классов: -начальный класс, он же — счетное множество N=0,1,2,…,N-1 всех конечных чисел. Его кардинал N называется конечным числом Кагота. Благодаря этим числам можно утверждать, что Диагональный метод Кантора останется непоколебимым.

См. также

Мощность множества или кардинальное число множества

• Кардинальное число
• Ординальное число
• Теорема Кантора (значения)