Класс эквивалентности

Отношение эквивалентности ($\sim$) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

1. Рефлексивность: $\,a \sim a$ для любого a в X,
2. Симметричность: если $\,a \sim b$, то $\,b \sim a$,
3. Транзитивность: если $\,a \sim b$ и $\,b \sim c$, то $\,a \sim c$.

Запись вида «$\,a \sim b$» читается как «a эквивалентно b».

Связанные определения

• Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если $b \in C(a)$, то C(a) = C(b).

Множество всех классов эквивалентности обозначается $X/\sim$.

• Множество классов эквивалентности по отношению $\sim$ является разбиением множества.

Примеры отношений эквивалентности

• Равенство («$\;=$»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
• Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
• В Евклидовой геометрии
  • Отношение конгруэнтности («$\cong$»).
  • Отношение подобия («$\ \sim$»).
  • Отношение параллельности прямых («$\|$»).

Факторизация отображений

Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности $\sim$, обозначается символом X / ˜ и называется фактормножеством относительно $\sim$. При этом сюръективное отображение

$p\colon x \mapsto C_x$

называется естественным отображением (или канонической проекцией) X на фактормножество X / ˜.

Пусть X, Y — множества, $f\colon X \to Y$ — отображение, тогда бинарное отношение $x \, {R_f} \,y$ определённое правилом

$x \mathop{R_f} y \iff f(x) = f(y), \quad x, y \in X$

является отношением эквивалентности на X. При этом отображение f индуцирует отображение $\overline{f}\colon X/R_f \to Y$, определяемое правилом

$\overline{f}(C_x) = f(x)$

или, что то же самое,

$(\overline{f}\circ p)(x) = f(x)$.

При этом получается факторизация отображения f на сюръективное отображение p и инъективное отображение $\overline{f}$.

Литература

• А. И. Кострикин Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.