Лапласа преобразование

Лапласа преобразование

Преобразова́ние Лапла́са — интегральное преобразование, связывающее функцию \ F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией \ f(x) действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

Содержание

Определение

Прямое преобразование Лапласа

Преобразованием Лапласа функции действительной переменной \ f(x), называется функция \ F(s) комплексной переменной s = \sigma + i \omega \, , такая что:

F(s)  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}  =\int\limits_{0^.}^\infty\limits\! e^{-st} f(t)\,dt.

Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.

Обратное преобразование Лапласа

Обратным преобразованием Лапласа функции комплексного переменного \ F(s), называется функция \ f(x) действительного переменного, такая что:

f(x) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}
 = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{ \sigma_1 - i \cdot \infty}^{ \sigma_1 + i \cdot \infty}\limits\! e^{sx} F(s)\,ds,

где  \sigma_1 \ — некоторое вещественное число (см. условия существования). Правая часть этого выражения называется интегралом Бромвича.

Двустороннее преобразование Лапласа

Основная статья: Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа — обобщение на случай задач, в которых для функции \ f(x) участвуют значения x < 0

Двусторонее преобразование Лапласа определяется следующим образом:

F(s)  = \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}  =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\limits\! e^{-sx} f(x)\,dx.

Дискретное преобразование Лапласа

Применяется в сфере систем компьютерного управления. Дискретное преобразование Лапласа может быть применено для решётчатых функций.
Различают \ D-преобразование и \ Z-преобразование.

  • \ D-преобразование

Пусть x_d \left( {t} \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot \delta \left( {t - nT} \right)} — решётчатая функция, то есть значения этой функции определены только в дискретные моменты времени \ nT, где \ n — целое число, а \ T — период дискретизации.
Тогда применяя преобразование Лапласа получим:
\mathcal{D}\left\{ {x_d \left( t \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot e^{ - snT} }

  • \ Z-преобразование
Основная статья: Z-преобразование

Если применить следующую замену переменных:
\ z = e^{ sT },
получим Z-преобразование:
\mathcal{Z}\left\{ {x_d \left( {t} \right)} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {x\left( {nT} \right) \cdot z^{ - n} }

Свойства и теоремы

  • Абсолютная сходимость

Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при σ = σ0, то есть существует предел

\lim_{b \to \infty} \int\limits_{0}^{b}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx = \int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|e^{-\sigma_0 x}\,dx,

то он сходится абсолютно и равномерно для \sigma \geqslant \sigma_0 и F(s)аналитичная функция при \sigma \geqslant \sigma_0 (\sigma = \operatorname{\mathrm{Re}}\,s — действительная часть комплексной переменной s). Точная нижняя грань σa множества чисел σ, при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции f(x).


  • Условия существования прямого преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа \mathcal{L} \{f(x) \} существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:

  1. Случай \sigma \geqslant 0: преобразование Лапласа существует, если существует интеграл \int\limits_{0}^{\infty}\limits\! |f(x)|\,dx
  2. Случай σ > σa: преобразование Лапласа существует, если интеграл \int\limits_{0}^{x_1}\limits\! |f(x)|\,dx существует для каждого конечного x1 > 0 и |f(x)| \leqslant Ke^{\sigma_ax} для  x &amp;gt; x_2 \geqslant 0
  3. Случай σ > 0 или σ > σa (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции f'(x) (производная к f(x)) для σ > σa.

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Условия существования обратного преобразования Лапласа

Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:

1. Если изображение F(s)аналитичная функция для \sigma \geqslant \sigma_a и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём \mathcal{L}^{-1} \{F(s) \} = 0 для t \leqslant 0

2. Пусть F(s) = \varphi[F_1(s), F_2(s), \dots, F_n(s)], так что \varphi(z_1, z_2, \dots, z_n) аналитична относительно каждого zk и равна нулю для z_1 = z_2 = \dots = z_n = 0, и F_k(s) = \mathcal{L} \{f_k(x) \{ (\sigma &amp;gt; \sigma_{ak}\colon k = 1, 2, \dots, n), тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.

Примечание: это достаточные условия существования.


  • Теорема о свёртке
Основная статья: Теорема о свёртке

Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов.

\mathcal{L} \{ f(x)  * g(x) \} = \mathcal{L} \{ f(x) \} \cdot \mathcal{L} \{ g(x) \}


  • Умножение изображений

f(x)g(0) + \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(x-\tau)g'(\tau)\,d\tau = sF(s)G(s)

Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.


  • Дифференцирование и интегрирование оригинала

Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа.

\mathcal{L} \{f'(x)\} = s \cdot F(s) - f(0^+)

В более общем случае (производная n-го порядка):

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} (x) \right\}  = s^n \cdot F(s) - s^{n - 1} f(0^+) - \dots - f^{(n - 1)}(0^+)

Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала деленное на свой аргумент.

\mathcal{L} \left\{ \int\limits_{0}^{x}\limits\! f(t)\,dt \right\} =  \frac{F(s)}{s}


  • Дифференцирование и интегрирование изображения

Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком.

\mathcal{L}^{-1} \{F'(s)\} = -xf(x)

Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, деленный на свой аргумент.

\mathcal{L}^{-1} \left\{ \int\limits_{s}^{+\infty}\limits\! F(s)\,ds \right\} =  \frac{f(x)}{x}


  • Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы

Запаздывание изображения:

\mathcal{L}\left\{ e^{ax} f(x) \right\}  = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}  = e^{ax} f(x)

Запаздывание оригинала:

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}  = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}  = f(x - a) u(x - a)

Примечание: u(x)Функция Хевисайда.

Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):

f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}, все полюсы в левой полуплоскости

Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, к примеру, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.

\lim_{s\to \infty}{sF(s)} = f(0 + 0)= \!
  • Другие свойства

Линейность

\mathcal{L}\left\{a f(x) + b g(x) \right\}  = a F(s)  + b G(s)

Умножение на число

 \mathcal{L} \left\{ f(ax) \right\} =\frac{1}{a} F \left (\frac{s}{a}\right )

Прямое и обратное преобразование Лапласа некоторых функций

Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.

Функция Временная область
x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}
Частотная область
X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}
Область сходимости
для причинных систем
1 идеальное запаздывание  \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \
1a единичный импульс  \delta(t) \  1 \  \mathrm{all} \  s \,
2 запаздывание n-го порядка с частотным сдвигом \frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)  \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}  s &amp;gt; 0 \,
2a степенная n-го порядка {  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  s &amp;gt; 0 \,
2a.1 степенная q-го порядка {  t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)  { 1 \over s^{q+1} }  s &amp;gt; 0 \,
2a.2 единичная функция  u(t) \  { 1 \over s }  s &amp;gt; 0 \,
2b единичная функция с запаздыванием  u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  s &amp;gt; 0 \,
2c «ступенька скорости»  t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  s &amp;gt; 0 \,
2d n-го порядка с частотным сдвигом \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  s &amp;gt; - \alpha \,
2d.1 экспоненциальное затухание  e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   s &amp;gt; - \alpha \
3 экспоненциальное приближение ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   s &amp;gt; 0\
4 синус  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  s &amp;gt; 0  \
5 косинус  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  s &amp;gt; 0 \
6 гиперболический синус  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  s &amp;gt; | \alpha | \
7 гиперболический косинус  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  s &amp;gt; | \alpha | \
8 экспоненциально затухающий
синус
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s &amp;gt; -\alpha \
9 экспоненциально затухающий
косинус
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s &amp;gt; -\alpha \
10 корень n-го порядка  \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  s &amp;gt; 0 \,
11 натуральный логарифм  \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  s &amp;gt; 0 \,
12 функция Бесселя
первого рода
порядка n
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  s &amp;gt; 0 \,
 (n &amp;gt; -1) \,
13 модифицированная функция Бесселя
первого рода
порядка n
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  s &amp;gt; | \omega | \,
14 функция Бесселя
второго рода
нулевого порядка
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t)    
15 модифицированная функция Бесселя
второго рода,
нулевого порядка
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
16 функция ошибок  \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)     {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  s &amp;gt; 0 \,
Примечания к таблице:

Применения преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях математики (операционное исчисление), физики и техники.

  • Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.

Связь с другими преобразованиями

Фундаментальные связи

Практически все интегральные преобразования имеют схожую природу и могут получаться одно из другого через выражения соответствия. Многие из них являются частными случаями других преобразований. Далее даны формулы, связывающие преобразования Лапласа с некоторыми другими функциональными преобразованиями.

Преобразование Лапласа-Карсона

Преобразование Лапласа-Карсона получается из преобразования Лапласа путём домножения его на комплексную переменную.

\mathcal{L_k}\left\{f(x)\right\} = sF(s)


Двустороннее преобразование Лапласа

Двустороннее преобразование Лапласа = \mathcal{L_B} связано с односторонним с помощью следующей формулы:

\mathcal{L_B}\left\{f(x); s\right\} = \mathcal{L}\left\{f(x); s\right\} + \mathcal{L}\left\{f(-x); -s\right\}



Преобразование Фурье

Непрерывное преобразование Фурье эквивалентно двустороннему преобразованию Лапласа с комплексным аргументом s = iω:

F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(x)\right\}= \mathcal{L}\left\{f(x)\right\}|_{s = i \omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\limits\! e^{-i\omega x} f(x)\,dx.

Примечание: в этих выражениях опущен масштабирующий множитель \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, который часто включается в определения преобразования Фурье.

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное преобразование Меллина связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных. Если в преобразовании Меллина

G(s) = \mathcal{M}\left\{g(\theta)\right\} = \int\limits_0^\infty\limits\! \theta^s\frac{g(\theta)} {\theta}\,d\theta

положим θ = e x, то получим двустороннее преобразование Лапласа.

Z-преобразование

Z-преобразование — это преобразование Лапласа решётчатой функции, производимое с помощью замены переменных:

 z \equiv e^{s T} \

где T = 1/f_s \! — период дискретизации, а  f_s \! частота дискретизации сигнала. Связь выражается с помощью следующего соотношения:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля идентична преобразованию Лапласа, существует также обобщённое преобразование Бореля, с помощью которого использование преобразования Лапласа распространяется на более широкий класс функций.

Библиография

  • Ван-дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа.-М., ИЛ, 1952
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1961
  • Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М, Физматгиз, 1974.-542 с.
  • Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М., ИЛ, 1948
  • Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1964
  • Краснов М. Л., Макаренко Г. И. Операционное исчисление. Устойчивость движения.-М., Наука, 1964.-103 с.
  • Микусинский Я. Операторное исчисление.-М., ИЛ, 1956
  • Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа.-М., Наука, 1980.-336 с.


См. также

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Поможем написать реферат

Полезное


Смотреть что такое "Лапласа преобразование" в других словарях:

  • ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразование где интегрирование ведётся по контуру L в комплексной плоскости переменной z=x+iy, ставящее в соответствие ф ции f(z), определённой и интегрируемой на L, аналитич. ф цию F(k )комплексной переменной . Л. п. в более… …   Физическая энциклопедия

  • Лапласа преобразование —         преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ∞), называемую «оригиналом», в функцию                   (1)          комплексного переменного р =σ +iτ. Под Л. п. понимают также не только само… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — трансформация Лапласа, в широком смысле интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z). определенной на L, аналитич. функцию… …   Математическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — в геометрии переход от одной фокальной сети конгруэнции к другой фокальной сети той же конгруэнции. Понятие Л. п. сети ввел Г. Дарбу (G. Darboux, 1888), обнаруживший, что аналитич. реобразование решений уравнения Лапласа где а, b, с известные… …   Математическая энциклопедия

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года[1]. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… …   Википедия

  • Преобразование Гегенбауэра — Преобразование Гегенбауэра  интегральное преобразование функции : где   многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то им …   Википедия

  • Преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа  интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… …   Википедия

  • Преобразование —         одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… …   Большая советская энциклопедия

  • Преобразование Хенкеля — В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой: где Jν  функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение: которое можно проверить с… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Лапласа преобразование» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»