- Лапласа преобразование
-
преобразование, переводящее функцию f (t) действительного переменного t (0 < t < ∞), называемую «оригиналом», в функцию(1)комплексного переменного р =σ +iτ. Под Л. п. понимают также не только само преобразование, но и его результат — функцию F (p). Интеграл в правой части формулы (1) называется интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом в ряде работ, которые объединены в его книге «Аналитическая теория вероятностей», вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер.При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях — по формуле обращения:Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:
n = 1, 2, …,
t >0.
Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у’’ + у = f (t), y (0) = y’ (0) = 0и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],то L [y’’] = p2Y (p)и p2Y (p) + Y (p) = F (p),откудаМногочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления (См. Операционное исчисление), в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) — функция pF (p).Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p0 = σ0 + iτ0. Если интеграл (1) сходится в точке р0, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р—р0) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p0, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число σс, что при Re p > σc интеграл (1) сходится, а при Re р < σс расходится. Число σс называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) — аналитическая функция (См. Аналитические функции) в полуплоскости Re р > σс.Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. — Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.
Полезное
Смотреть что такое "Лапласа преобразование" в других словарях:
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное преобразование где интегрирование ведётся по контуру L в комплексной плоскости переменной z=x+iy, ставящее в соответствие ф ции f(z), определённой и интегрируемой на L, аналитич. ф цию F(k )комплексной переменной . Л. п. в более… … Физическая энциклопедия
Лапласа преобразование — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и … Википедия
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — трансформация Лапласа, в широком смысле интеграл Лапласа вида где интегрирование производится по нек рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z). определенной на L, аналитич. функцию… … Математическая энциклопедия
ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — в геометрии переход от одной фокальной сети конгруэнции к другой фокальной сети той же конгруэнции. Понятие Л. п. сети ввел Г. Дарбу (G. Darboux, 1888), обнаруживший, что аналитич. реобразование решений уравнения Лапласа где а, b, с известные… … Математическая энциклопедия
Преобразование Фурье — Преобразование Фурье операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … … Википедия
Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 го года[1]. Важнейшее свойство преобразования Радона обратимость, то есть возможность… … Википедия
Преобразование Гегенбауэра — Преобразование Гегенбауэра интегральное преобразование функции : где многочлены Гегенбауэра. Если функция разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам Гегенбауэра, то им … Википедия
Преобразование Лапласа — Преобразование Лапласа интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются… … Википедия
Преобразование — одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия
Преобразование Хенкеля — В математике, преобразование Ханкеля порядка ν функции f(r) задаётся формулой: где Jν функция Бесселя первого рода порядка ν и ν ≥ −1/2. Обратным преобразованием Ханкеля функции Fν(k) называют следующее выражение: которое можно проверить с… … Википедия