ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

трансформация Лапласа, - в широком смысле - интеграл Лапласа вида

где интегрирование производится по нек-рому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z). определенной на L, аналитич. функцию F(p).комплексного переменного p=s+it. Многие интегралы вида (1) были рассмотрены П. Лапласом (см. [1]).

В узком смысле под Л. п. подразумевают одностороннее преобразование Лапласа

называемое так в отличие от двустороннего преобразования Лапласа

Л. п.- частный вид интегральных преобразований;. преобразования вида (2) или (3) тесно связаны с Фурье преобразованием. Двустороннее Л. п. (3) можно рассматривать как преобразование Фурье функции одностороннее Л. п. (2) - как преобразование Фурье функции j(t) равной и равной нулю при

Подинтегральная комплексная локально суммируемая функция f(t).наз. функцией-оригиналом, или просто оригиналом; в приложениях часто удобно трактовать переменное tкак время. Функция F(p)=L[f], (р).наз. также преобразованием Лапласа оригинала f(t).или изображением по Лапласу. Интеграл (2) понимается, вообще говоря, как условно сходящийся на бесконечности. Априори возможны три случая: 1) существует действительное число такое, что интеграл (2) сходится при - расходится; это число s _с наз. абсциссой (у словной) сходимости; 2) интеграл (2) сходится при всех р, в этом случае полагают 3) интеграл (2) расходится при всех р, в этом случае полагают Если то интеграл (2) представляет однозначную аналитич. функцию F(p).в полуплоскости сходимости Обычно ограничиваются рассмотрением абсолютно сходящихся интегралов (2). Точная нижняя грань тех s, для к-рых существует интеграл

наз. абсциссой абсолютной сходимости Если а есть нижняя грань тех s, для к-рых число а иногда наз. показателем роста оригинала f(t).

При нек-рых дополнительных условиях оригинал f(t).однозначно восстанавливается по своему Л. п. F(p). Напр., если f(t) имеет ограниченную вариацию в окрестности точки t₀ или если f(t).кусочногладкая, то имеет место формула обращения Л. п.:

Формулы (2) и (4) позволяют получить ряд соотношений между операциями, производимыми над оригиналами и изображениями, а также таблицу изображений для часто встречающихся оригиналов. Все это составляет элементарную часть операционного исчисления.

В математич. физике важные применения находит многомерное Л. п.

где

- точка re-мерного евклидова пространства

- точка комплексного пространства

- скалярное произведение, - элемент объема в Комплексная функция f(t).в (5) определена и локально суммируема в области интегрирования

- положительном координатном угле пространства Если функция f(t).ограничена в то интеграл (5) существует во всех точках удовлетворяющих условию к-рое определяет снова положительный координатный угол

Интеграл (5) определяет голоморфную функцию комплексных переменных в трубчатой области пространства с основанием S. В более общем случае в качестве области интегрирования в (5) и основания Sтрубчатой области можно взять любую пару сопряженных замкнутых выпуклых острых конусов в пространстве с вершиной в начале координат. При n=1 формула (5) переходит в (2), причем - положительная полуось и - правая полуплоскость. Л. п. (5) определено и голоморфно и для функций f(t). гораздо более широких классов, напр. для всех быстро убывающих функций, составляющих класс т. е. для бесконечно дифференцируемых в функций f(t), убывающих при вместе со всеми производными быстрее любой степени величины Элементарные свойства Л. п. с соответствующими изменениями остаются справедливыми и для многомерного случая.

Развитием Л. п. является Л. п. мер и вообще обобщенных функций. Наиболее полно теория Л. п. обобщенных функций развита для важного в математич. физике класса обобщенных функций медленного роста, определяемых как линейные непрерывные функционалы на пространстве быстро убывающих основных функций Такое Л. п. L[g]обобщенной функции медленного роста снова является обобщенной функцией медленного роста, .

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования (2), переводящего оригинал в изображение F(p), а также численное обращение Л. п., т. е. численное нахождение f(t) из интегрального уравнения (2) либо по формуле обращения (4).

Необходимость применения численного Л. п. возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

В случае действительных значений параметра рформулу (2) при нек-рых дополнительных предположениях можно свести к вычислению интеграла с весом Лагерра:

при нек-ром При нек-рых условиях к интегралу (6) приводится и Л. п. для комплексных р(см. [9]). Для вычисления интеграла в (6) применима квадратурная формула

где коэффициенты и узлы выбираются так, чтобы равенство (7) при фиксированном пбыло точным или для всех многочленов степени или для некрой системы рациональных функций в зависимости от свойств функции Коэффициенты и узлы для таких квадратурных формул просчитаны для многих значений параметра s (см. [9] - [11]).

Проблема обращения Л. п., как задача отыскания решения f(x).интегрального уравнения первого рода (2), относится к классу некорректных задач и может быть решена, в частности, посредством регуляризирующего алгоритма.

Задачу численного обращения Л. п. можно также решать методам", основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно Л. п. F(p).функции

где f(t) - искомая функция, а b(t) - неотрицательная, интегрируемая на функция. Предполагается, что функция f(t).интегрируема на любом конечном отрезке [0, Т]и принадлежит классу По изображению F(р).функции b(t), f(t) функция f(t).строится в виде ряда по смещенным многочленам Якоби, в частности по смещенным многочленам Лежандра, Чебышева первого и второго рода, коэффициенты к-рого a_k вычисляются по формуле

где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде

Пусть задано Л. п. F(р)функции f(t), причем f(t) удовлетворяет условию

Тогда f(t) можно разложить в ряд по обобщенным многочленам Лагерра

сходящийся к f(t).в среднем. Коэффициенты этого ряда вычисляются по формуле

Другим приемом численного обращения Л. п. является построение квадратурных формул для интеграла обращения (4).

Изображение F(p).стремится к нулю, если точка рудаляется на бесконечность так, что Rep при этом неограниченно растет. Предполагается, что F(p).убывает по степенному закону, т. е. что F(p).представима в виде

а j(p) регулярна в полуплоскости и непрерывна при Интеграл (4) при этом имеет вид

Для интеграла (8) построена интерполяционная квадратурная формула, основанная на интерполировании j(p) многочленами от 1/р:

где - узлы интерполирования, произвольные, расположенные справа от прямой - остаточный член формулы и

Коэффициенты зависят только от выбранных узлов p_k и для нек-рых способов их выбора (в частности, для равноотстоящих узлов) вычислены (см. [12]). Задача исследования сходимости интерполяционных квадратурных формул заключается в выяснении связей между свойствами j(p) и узлами при к-рых можно быть уверенным в стремлении остаточного члена R_n формулы (9) к нулю. Эта задача решена для нек-рых конкретных узлов и для нек-рых частных классов функций j(p) (см. [13]).

Для интеграла (4) можно строить квадратурные формулы наивысшей степени точности в классе рациональных функций частного вида. Чтобы параметры формулы не зависели от и t, выполняется замена переменной Интеграл (4) принимает вид

Как и прежде, предполагается, что и для вычисления интеграла J(s)строится квадратурная формула

точная для любого многочлена степени от переменной 1/z. Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (10) была интерполяционной и чтобы узлы были корнями нек-рой системы ортогональных многочленов Окончательно это условие приводит к формуле

где - корни ортогональных многочленов Для многочленов известны явное выражение, рекуррентное соотношение, дифференциальное уравнение, решением к-рого они являются, производящая функция. Для нек-рых частных значений s показано, что корни многочленов лежат в правой полуплоскости (см. [13]). В [12] приведены значения узлов и коэффициентов формулы (11) для s=l, 2, 3, 4, 5; п=1(1)15 с 20 верными десятичными знаками и для s=0,01 (0,01)3; n=1(1) 10 с 7-8 верными десятичными знаками.

Лит.:[1] Laplace P. S., Theorie analytique des probabilites, P., 1812; [2] Ван дер Поль Б., Бреммер X., Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, пер. с англ., М., 1952; [3] Б о х н е р С., Лекции об интегралах Фурье, пер. с англ., М., 1962; [4] Диткин В. А., Прудников А. П., Операционное исчисление, М., 1966; [5] их же, Интегральные преобразования и операционное исчисление, 2 изд., М., 1974; [6] D о е t s с h G., Handbuch der Laplace-Transformation, Bd 1-3, Basel, 1950-56; [7] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976; [8] 3 е м а н я н А. Г., Интегральные преобразования обобщенных функций, пер. с англ., М. 1974; [9] Айзенштат В. С., Крылов В. И., М е т е л ь с к и й А. С., Таблицы для численного преобразования Лапласа и вычисления интегралов вида Минск, 1962; [10] S а 1 ге г Н. Е., Z u с k е r R., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1949, № 55, p. 1004-12; [11] Пальцев А. А., Скобля Н. С., "Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук", 1965, MS 3, с. 15-23; [12] Крылов В. И., Скобля Н. С., Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа, Минск, 1968; [13] их же, Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа, М., 1974. н. С. Жаврид.