Передаточная функция

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Линейные стационарные системы

Пусть $u(t) \!$ — входной сигнал линейной стационарной системы, а $y(t) \!$ — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция $W(s) \!$ такой системы записывается в виде:

$W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)}$,

где $U(s) \!$ и $Y(s) \!$ — преобразования Лапласа для сигналов $u(t) \!$ и $y(t) \!$ соответственно:

$U(s) = \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} u(t) e^{-st}\, dt$,

$Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{0}^{+\infty} y(t) e^{-st}\, dt$.

Дискретная передаточная функция

Для дискретных и дискретно-непрерывных систем вводится понятие дискретной передаточной функции. Пусть $u(k) \!$ — входной дискретный сигнал такой системы, а $y(k) \!$ — её дискретный выходной сигнал, $k = 0, 1, 2, \dots \!$. Тогда передаточная функция $W(z) \!$ такой системы записывается в виде:

$W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)}$,

где $U(z) \!$ и $Y(z) \!$ — z-преобразования для сигналов $u(k) \!$ и $y(k) \!$ соответственно:

$U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k}$,

$Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k}$.

Связь с другими динамическими характеристиками

• АФЧХ системы можно получить из передаточной функции с помощью формальной замены комплексной переменной $s \!$ на $j \omega \!$:

$W(j \omega) \equiv W(s), s = j \omega \!$.

• Импульсная переходная функция является оригиналом (в смысле преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Свойства передаточной функции

1. Для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами передаточная функция — это дробно-рациональная функция комплексной переменной ($s \!$):

$W(s) = \frac{R(s)}{Q(s)} = \frac{b_0s^m + b_1s^{m-1} + \dots + b_m}{a_0s^n + a_1s^{n-1} + \dots + a_n}$.

2. Знаменатель передаточной функции — это характеристический полином системы. Полюсы передаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома.

3. В физически реализуемых системах порядок числителя передаточной функции $m \!$ не может превышать порядка её знаменателя $n \!$.

4. Импульсная переходная функция представляет собой оригинал (преобразования Лапласа) для передаточной функции.

Матричная передаточная функция

Для MIMO-систем вводится понятие матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция от вектора входа системы $U(t) \!$ до вектора выхода $Y(t) \!$ — это матрица $W = \{w_{i, j}\} \!$, элемент $i \!$-й строки $j \!$-го столбца представляет собой передаточную функцию системы от $i \!$-й координаты вектора входа системы до $j \!$-й координаты вектора выхода.

См. также

• ЛАФЧХ
• Частотный отклик
• АФЧХ
• Билинейное преобразование

Ссылки

• Передаточная функция
• Программа преобразования передаточной функции в разностное уравнение