Z-преобразование

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты $E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование

Двустороннее Z-преобразование $X(z)$ дискретного временного сигнала $x[n]$ задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.$

где $n$ — целое, $z$ — комплексное число.

$z=Ae^{j\varphi},$

где $A$ — амплитуда, а $\varphi$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование

В случаях, когда $x[n]$ определена только для $n\geqslant0$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

$X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.$

Обратное Z-преобразование

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

$x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz,$

где $C$ — контур, охватывающий область сходимости $X(z)$. Контур должен содержать все вычеты $X(z)$.

Положив в предыдущей формуле $z=re^{j\varphi}$, получим эквивалентное определение: $x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.$

Область сходимости

Область сходимости $D$ представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие:

$D=\left\{z\colon\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}<\infty\right\},$

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Пример 1 (без области сходимости)

Пусть $x[n]=0{,}5^n$. Раскрывая $x[n]$ на интервале $(-\infty,\;\infty)$, получаем

$x[n]=\{\ldots,\;0{,}5^{-3},\;0{,}5^{-2},\;0{,}5^{-1},\;1,\;0,5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}=\{\ldots,\;2^3,\;2^2,\;2,\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}.$

Смотрим на сумму:

$\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}>\infty.$

Поэтому, не существует таких значений $z$, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Таблица некоторых Z-преобразований

Обозначения:

• $u[n]=1$ для $n\geqslant0$, $u[n]=0$ для $n<0$;
• $\delta[n]=1$ для $n=0$, иначе $\delta[n]=0$.

	Сигнал, $x[n]$	Z-преобразование, $X(z)$	Область сходимости
1	$\delta[n]\,$	$1\,$	$\forall z\,$
2	$\delta[n-n_0]\,$	$\frac{1}{z^{n_0}}$	$z\neq 0\,$
3	$u[n]\,$	$\frac{z}{z-1}$	$|z|>1\,$
4	$a^nu[n]\,$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$|z|>|a|\,$
5	$na^nu[n]\,$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$|z|>|a|\,$
6	$-a^nu[-n-1]\,$	$\frac{1}{1-az^{-1}}$	$|z|<|a|\,$
7	$-na^nu[-n-1]\,$	$\frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}$	$|z|<|a|\,$
8	$\cos(\omega_0n)u[n]\,$	$\frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}$	$|z|>1\,$
9	$\sin(\omega_0n)u[n]\,$	$\frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}}$	$|z|>1\,$
10	$a^n\cos(\omega_0n)u[n]\,$	$\frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$	$|z|>|a|\,$
11	$a^n\sin(\omega_0n)u[n]\,$	$\frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}}$	$|z|>|a|\,$

См. также

• Модифицированное Z-преобразование
• Преобразование Лапласа
• Ряд Лорана

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Z-Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.