Свёртка (математический анализ)


Свёртка (математический анализ)

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования. Операция свёртки это зависимость интеграла по времени, произведения 1-го сигнала на 2-й, от сдвига по времени второго сигнала относительно первого. Результат свёртки показывает в каких местах один сигнал похож на другой, а в каких непохож. Например, произведя свёртку фрагмента изображения с целым изображением, получим максимум результата свёртки именно в том месте, откуда был взят фрагмент. Для свёртки берётся копия первого сигнала. К ней прикладывается копия второго сигнала с определённым сдвигом. Копии сигналов перемножаются. Берётся интеграл по времени от этого перемножения. Значение интеграла наносится на график напротив выбранного сдвига. Затем сдвиг меняется, сигналы опять перемножаются. Опять берётся интеграл от произведения сигналов и наносится на график. Так повторяем для всех значений сдвигов. Полученый график и будет свёрткой.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.
Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Содержание

Свёртка функций

Пусть f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R} — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве \mathbb{R}^d. Тогда их свёрткой называется функция f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, определенная формулой

(f * g)(x)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{\mathbf{R}^d} f(y)\, g(x-y)\, dy =
\int \limits_{\mathbf{R}^d} f(x-y)\, g(y)\, dy.

В частности, при \,d=1 формула принимает вид:

(f * g)(x)\ \ \,   \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(y)\, g(x-y)\, dy = 
\int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x-y)\, g(y)\, dy.

Свёртка \,(f * g)(x) определена при почти всех x \in {\mathbf{R}^d} и интегрируема.

Свойства

\, f * g = g * f .
\, f  * (g  * h) = (f  * g)  * h.
\, (f_1+f_2) * g =  f_1 * g + f_2 * g,\quad
\, f * (g_1+g_2) =  f * g_1 + f * g_2,\quad
\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}.
  • Правило дифференцирования:
\, \mathrm{D}(f  * g) = \mathrm{D}f  * g = f  * \mathrm{D}g,

где \mathrm{D}f обозначает производную функции f по любой переменной.

  • Свойство Фурье-образа:
\, \mathfrak{F}[f  * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g],

где  \mathfrak{F}[f] обозначает преобразование Фурье функции f.

Свёртка на группах

Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m, и f,g:G \to \mathbb{R} — две функции, определённые на G. Тогда их свёрткой называется функция

f  * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G.

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) и две меры \mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}. Тогда их свёрткой называется мера

\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),

где \mu \otimes \nu обозначает произведение мер \mu и \nu.

Свойства

f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}.

Тогда \mu * \nu также абсолютно непрерывна относительно m, и её производная Радона — Никодима f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm} имеет вид

f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}.

Свёртка распределений

Если \mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y — распределения двух независимых случайных величин X и Y, то

\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y,

где \mathbb{P}^{X+Y} — распределение суммы X+Y. В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y, то случайная величина X+Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

f_{X+Y} = f_X  * f_Y.

См. также

Литература

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
  • Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Свёртка (математический анализ)" в других словарях:

  • Свертка (математический анализ) — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… …   Википедия

  • Свёртка — Свёртка  многозначный термин: В математике Свёртка (математический анализ) Свёртка тензора Свёртка списка Свёртка (информатика)  алгоритм В технике Свёртка  в факсимильной связи, процедура преобразования видеосигнала в изображение …   Википедия

  • Конволюция — Свёртка многозначный термин: В математике: Свёртка (математический анализ) Свёртка тензора Свёртка списка Свёртка (информатика) алгоритм …   Википедия

  • Свертка — Свёртка многозначный термин: В математике: Свёртка (математический анализ) Свёртка тензора Свёртка списка Свёртка (информатика) алгоритм …   Википедия

  • Преобразование Фурье — Преобразование Фурье  операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие … …   Википедия

  • Секционная свертка — Секционная свёртка используется, когда количество элементов одной из последовательностей в несколько раз больше, чем количество элементов другой. Секционная свёртка может выполняться методом суммирования или методом перекрытия. Для реализации… …   Википедия

  • Ядро Дирихле — Ядро Дирихле  периодическая функция, задаваемая следующей формулой: Функция названа в честь французско немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это… …   Википедия

  • Дискретное косинусное преобразование — (англ. Discrete Cosine Transform, DCT)  одно из ортогональных преобразований. Вариант косинусного преобразования для вектора действительных чисел. Применяется в алгоритмах сжатия информации с потерями, например, MPEG и JPEG. Это… …   Википедия

  • Список операторов — Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований. Выражение Задание кривой Переменные Описание Линейные преобразования Производная n го порядка Декартовы координаты Интеграл, площадь …   Википедия

  • Ядро Джексона — Ядром Джексона в теории приближений называется периодическая функция, задающаяся формулой: Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов – Данхэма Джексона (англ. Dunham Jackson). Данная функция… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.