БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

выражение


содержащее бесконечное множество числовых или функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличен от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений


при . 3начением Б. п. наз. этот предел


и пишут


Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд


Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. абсолютно сходящимся, если сходится Б. п.


для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд


Б. п. обладает переместительным свойством (т. е. его значение не зависит от порядка сомножителей) в том и только в том случае, если оно сходится абсолютно. Б. п. (*) с функциональными сомножителями


определенными, напр., в области D плоскости комплексного переменного z, сходится равномерно в D, если последовательность частичных произведений сходится в Dравномерно к пределу, отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в Dтакие, что на любом компакте их лежит не более конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно, равномерно) сходящимся внутри D, если для любого компакта существует такой номер , что все сомножители на kпри и последовательность частичных произведений


сходится на К(абсолютно, равномерно) к пределу, отличному от нуля. Если все сомножители - аналитич. функции на D и Б. п. сходится равномерно внутри D, то оно представляет в D аналитич. функцию.

Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593) при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно он получил аналитич. редставление числа p, построив следующее Б. п.:


Другое представление числа пвосходит к Дж. Валлису (J. Wallis, 1665):


Б. п. с функциональными сомножителями появились у Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.:


Б. п.- основной аппарат для представления аналитич. функций с явным указанием их нулей; они являются для целых функций аналогом разложения многочлена на множители. См. также Бляшке произведение, Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении, Каноническое произведение.

Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [3] Бицадзе А. <В., Основы теории аналитических функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1972. Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ" в других словарях:

  • БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — произведение бесконечного числа сомножителей , т. е. выражение вида …   Большой Энциклопедический словарь

  • бесконечное произведение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN infinite product …   Справочник технического переводчика

  • Бесконечное произведение — В математике для последовательности чисел бесконечное произведение определяется как предел частичных произведений при . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся.… …   Википедия

  • бесконечное произведение — произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., un,..., то есть выражение вида: u1u2...un... = П∞k = 1 Uk * * * БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, произведение бесконечного числа сомножителей , т. е. выражение вида …   Энциклопедический словарь

  • Бесконечное произведение —         произведение бесконечного числа сомножителей u1, u2,..., un,..., т. е. выражение вида                   Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть… …   Большая советская энциклопедия

  • БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — произведение бесконечного числа сомножителей и1 , и2, ..., иn, ..., т. е. выражение вида: u1u2...un...=Пk=1 uk …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЭЙЛЕРА ПРОИЗВЕДЕНИЕ — бесконечное произведение вида где s действительное число и . пробегает все простые числа. Это произведение абсолютно сходится при всех s>1. Аналогичное произведение для комплексных чисел абсолютно сходится при и задает в этой области дзета… …   Математическая энциклопедия

  • РИССА ПРОИЗВЕДЕНИЕ — бесконечное произведение вида для всех . С помощью таких произведений ( при всех ) Ф. Рисс (F. Riesz) указал первый пример непрерывной функции с ограниченным изменением, коэффициенты Фурье к рой не равны . Если q>3,то тождество определяет ряд… …   Математическая энциклопедия

  • Прямое произведение — Прямое или декартово произведение  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих… …   Википедия

  • Декартово произведение — Прямое или декартово произведение множеств  множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»