Шрёдингера уравнение

Уравне́ние Шрёдингера в квантовой физике — уравнение, связывающее пространственно-временное распределение с помощью представлений о волновой функции. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы.

В начале XX века ученые пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым микрочастицам присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из фундаментальных законов физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае. Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса частицы становятся макроскопическими, прогнозы квантовой и классической теорий совпадают, потому что неопределённый путь частицы становится близким к однозначной траектории.

Формулировка

Общий случай

В квантовой физике изначально вводится представление о вероятностном поведении частицы путем задания некоторой функции, называемой волновой и характеризующей вероятность местонахождения частицы (см. Волновая функция). Затем выводится уравнение для этой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию $\! \Psi$, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения $\! \Psi$ в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$, в определенный момент времени t она будет иметь вид $\ \Psi \left( \vec{r}, t \right)$. В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} {\Delta} \Psi ( \vec{r} , t) + {E}_p ( \vec{r} ) \Psi ( \vec{r} , t ) = - {\hbar \over i} {\partial \over \partial t} \Psi (\vec{r},t) , \qquad ( 1 )$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$, $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( \vec{r} )$ — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке $\vec{r}({x}_1, {x}_2, {x}_3,\ldots,{x}_n)$, $\! \Delta$ — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла, и в частном случае декартовых координат, имеет вид:

$\Delta \equiv {\nabla}^{\,2} \! = {{\partial}^2 \over \partial {x}_1^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_2^2} + {{\partial}^2 \over \partial {x}_3^2} + \ldots + {{\partial}^2 \over \partial {x}_n^2}$

Случай трёхмерного пространства

В трёхмерном случае неизвестные являются функциями трех координат и $\! \Delta \Psi$ в декартовой системе координат заменяется выражением

$\! \Delta \Psi = {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} ,$

тогда уравнение Шрёдингера примет вид:

$- {{\hbar}^2 \over 2 m} \left( {{\partial}^2 \Psi \over \partial {x}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {y}^2} + {{\partial}^2 \Psi \over \partial {z}^2} \right) + {E}_p ( x , y , z ) \Psi = - {\hbar \over i} {\partial \Psi \over \partial t} ,$

где $\hbar = {h \over 2 \pi}$, $\! h$ — постоянная Планка; $\! m$ — масса частицы, $\! {E}_p ( x , y , z )$ — потенциальная энергия в точке $\! ( x , y , z )$

Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда $\! {E}_p$ не является функцией времени, можно записать в виде:

$\! \Psi ( \vec{r}, t) = \psi ( \vec{r} ) {e}^{( - 2 \pi i / h) E t} , \qquad ( 2 )$

где функция $\! \psi ( \vec{r} )$ должна удовлетворять уравнению:

$\! - {{\hbar}^2 \over 2 m } \Delta \psi (\vec{r}) + {E}_p ( \vec{r} ) \psi (\vec{r}) = E \psi (\vec{r}) , \qquad ( 3 )$

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для $\! \Psi$ (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ от времени проста, но зависимость ее от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции $\! {E}_p ( \vec{r} )$ совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции $\! {E}_p ( \vec{r} )$.

Важное значение имеет интерпретация величины $\! E$ в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции $\! \Psi ( \vec{r} , t )$ в уравнении (2) имеет экспоненциальный характер, причём коэффициент при $\! t$ в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель $\! E$. В левой же части уравнения (3) функция $\! \psi$ умножается на потенциальную энергию $\! {E}_p ( \vec{r} )$. Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина $\! E$ должна иметь размерность энергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что $\! E$ представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, $\! E$ действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией $\! \Psi ( \vec{r} , t )$.

Получение уравнения Шрёдингера предельным переходом

Существует способ получить уравнение Шрёдингера, используя предельный переход к классической механике.

Рассмотрим оператор

$~{\hat H=i\hbar {\partial \over \partial t}}$

Поскольку интеграл $\int |\Psi|^2 dq$ есть величичина постоянная (для нормированной функции равная 1) то:

${\partial \over \partial t}\int |\Psi|^2 dq = \int {\partial \Psi^* \over \partial t}\Psi dq+\int {\partial \Psi \over \partial t}\Psi^* dq = 0$

(Звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение) Подставляя сюда наш оператор $\hat H$ (оператор со звездочкой — комплексно сопряженный, с тильдой — транспонированный):

$\int \Psi \hat H^* \Psi^* dq - \int \Psi^* \hat H \Psi dq=\int \Psi^* \tilde{\hat H^*} \Psi dq - \int \Psi^* \hat H \Psi dq=0$

Иначе:

$\int \Psi^* (\tilde{\hat H^*}-\hat H) \Psi dq=0$

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольной функции $\! \Psi$, то отсюда следует, что тождественно $\tilde{\hat H^*}=\hat H$, то есть оператор $\hat H$ эрмитов. Чтобы выяснить смысл этого оператора, подействуем им на функцию $\Psi=ae^{iS/\hbar}$ (функция квазиклассической системы, $\! a$ — медленно меняющаяся функция, $\! S$-действие):

$\hat H\Psi=i\hbar{\partial a \over \partial t}e^{iS/\hbar}-{\partial S \over \partial t}ae^{iS/\hbar}$

Пренебрегая первым членом в силу его малости получаем:

$\hat H\Psi=-{\partial S \over \partial t}\Psi$

То есть $-{\partial S \over \partial t}$ — собственное значение нашего оператора. Но эта производная есть ничто иное, как классическая энергия системы (функция Гамильтона). Поэтому этот оператор называют гамильтонианом или гамильтоновым оператором.

Мы не будем здесь приводить вывод оператора импульса (точнее, оператора величины, сохраняющейся в силу однородности пространства), приведем лишь результат:

$\hat \mathbf{p}=-i\hbar\nabla$

Или в компонентах (оси $\! x_1, x_2, x_3$...):

$\hat p_{x_i}=-i\hbar{\partial \over \partial x_i}$

В том, что это есть оператор величины переходящей в классический импульс можно убедиться, тем же методом, что был предложен для гамильтониана. Можно показать, что сохраняющаяся со временем величина, в частности импульс, измерима одновременно с энергией. Поэтому мы предположим, что соотношение между операторами импульса и энергии совпадает с классическим соотношением между соответствующими величинами:

$\hat H={\hat p^2 \over 2m} + {E}_p=-{\hbar^2\over 2m}\nabla^2+{E}_p$

Но:

$\hat H=i\hbar {\partial \over \partial t}$

Таким образом:

$-{\hbar^2\over 2m}\nabla^2\Psi+{E}_p\Psi=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi$

Литература

• Шредингер Э. Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.

• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392с.

См. также

• Волновая функция
• Квантовая механика
• Законы Ньютона
• Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера
• Уравнение Дирака
• Уравнение Линдблада
• Уравнение фон Неймана
• Уравнение Гейзенберга

Ссылки

• Сферически симметричные состояния электрона в атоме водорода