Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице:^[1]

$AA^{T} = A^{T}A = E,$

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

$\! A^{-1} = A^{T}.$

Свойства

• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

$\! \sum_{i} A_{ij} A_{ik}=\delta_{jk}$

и

$\! \sum_{i} A_{ji} A_{ki}=\delta_{jk}$

где $i\in \{1,\;\ldots,\;n\}$, n — порядок матрицы, а $\delta_{jk}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$, что следует из свойств определителей:

  $\! 1 = \det(I) = \det(A^TA)=\det(A^T)\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^2=1.$

• Множество ортогональных матриц порядка $n$ над полем $k$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается $O_n(k)$ или $O(n,\;k)$ (если $k$ опускается, то предполагается $k=\R$).
• Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

$(\pm 1)$ и $\begin{pmatrix}\ \ \ \cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}.$

Примеры

• $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ — единичная матрица

• $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

• $\begin{pmatrix} 0.96 & -0.28 \\ 0.28 & \;\;\,0.96 \\ \end{pmatrix}$ — пример матрицы поворота

• $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ — пример перестановочной матрицы

См. также

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование

Примечания

1. ↑ Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. Стр. 158. ISBN 5-02-015235-8.