Жорданова мера

Жорданова мера

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и n-мерного обьёма в n-мерном евклидовом пространстве.

Содержание

Построение

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана mΔ параллелепипеда \Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i] в \R^n определяется как произведение

m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).

Для ограниченного множества E\subset\R^n определяются:

  • внешняя мера Жордана
    m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E
  • внутренняя мера Жордана
    m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m, если k\neq m,

здесь \Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество E назывется измеримым по Жордану (квадрируемым при n = 2, кубируемым при n\geqslant 3), если meE = miE. В этом случае мера Жордана равна mE = meE = miE.

Свойства

  • Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
  • Ограниченное множество E\subset\R^n измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
  • Внешняя мера Жордана одна и та же для E и \bar E (замыкания множества E) и равна мере Бореля \bar E.
  • Измеримые по Жордану множества образуют кольцо множеств, на котором мера Жордана конечно аддитивная функция.

История

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Литература

  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Жорданова мера" в других словарях:

  • СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА — унитальный гомоморфизм нек рой булевой алгебры множеств в булеву алгебру проекторов в банаховом пространстве. Всякий оператор Тв банаховом пространстве Xопределяет С. м. на совокупности открыто замкнутых подмножеств его спектра по формуле где Г… …   Математическая энциклопедия

  • Жордан, Мари Энмон Камиль — Мари Энмон Камиль (Камилл) Жордан Marie Ennemond Camille Jordan Дата рождения …   Википедия

  • ДВУХ КОНСТАНТ ТЕОРЕМА — пусть D конечносвязная жорданова область на плоскости комплексного переменного z, w(z) регулярная аналитич. функция в D, удовлетворяющая неравенству причем на нек рой дуге a. границы дD выполняется соотношение тогда в каждой точке z множества где …   Математическая энциклопедия

  • КВАДРИРУЕМОСТЬ — измеримость по Жордану множества на плоскости (см. Жордана мера). Не всякая область (т. е. открытое связное множество) и даже но всякая жорданова область (т. е. область, имеющая своей границей простую замкнутую кривую) квадрируема. С другой… …   Математическая энциклопедия

  • ПЛАТО ЗАДАЧА — задача нахождения минимальной поверхности (м. п.) с заранее заданной границей Г. Впервые такая задача была поставлена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1760), к рый свел ее в классе поверхностей вида z=z( х, у).к решению уравнения Эйлера Лагранжа м. п.… …   Математическая энциклопедия

  • Жордан Мари Энмон Камиль — Камиль Жордан Мари Энмон Камиль (Камилл) Жордан (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838  22 января 1922)  французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп и «Курсу анализа». Он родился в Лионе и… …   Википедия

  • Камилл Жордан — Камиль Жордан Мари Энмон Камиль (Камилл) Жордан (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838  22 января 1922)  французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп и «Курсу анализа». Он родился в Лионе и… …   Википедия

  • Мари Энмон Камиль Жордан — Камиль Жордан Мари Энмон Камиль (Камилл) Жордан (фр. Marie Ennemond Camille Jordan, 5 января 1838  22 января 1922)  французский математик, известный благодаря своим фундаментальным работам в теории групп и «Курсу анализа». Он родился в Лионе и… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»