Разложение Хана-Жордана

Разложение Хана-Жордана

Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ-алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ-аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и необязательно быть счётно-аддитивным.

При этом, термин заряд и конечно-аддитивная мера это синонимы.

Множество всех зарядов над произвольным множеством X c сигма-алгеброй Σ принято обозначать ba(X,\;\Sigma).

Содержание

Связанные определения

  • Положительный заряд \nu\in ba(X,\;\Sigma) называется чисто конечно аддитивным, если для любой положительной счётно-аддитивной меры μ из 0\leqslant\mu\leqslant\nu вытекает, что μ = 0.
    • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен если таковы заряды ν + и ν .

Свойства

  • Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже более, того K-пространство.
  • Для любого заряда ν имеется положительную часть \nu^{+}\geqslant 0 и отрицательную часть \nu^{-}\geqslant 0. Имеет место разложение Хана — Жордана ν = ν + − ν , в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
  • Пусть \mu\in ba(X,\;\Sigma).
    Для любой заряда ν единственным образом представим ввиде суммы ν = ν1 + ν2, где ν1 абсолютно непрерывна относительно μ и ν2 дизъюнктна μ. Такое представление меры ν принято назвать разложение по Лебегу.
  • Любой заряд \nu\in ba(X,\;\Sigma) единственным образом представим в виде суммы ν = νca + νpfa, где νca произвольная счётно-аддитивная мера, а νpfa произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
  • Пространство ba(X,\;\Sigma) является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин заряд был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-ые года XX века).

См. также

  • Теорема Хана о разложении (англ.)

Литература

  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962
  • Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966
  • Халмош П. Теория меры. / Пер. с англ. — М., 1953.
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
  • Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
  • Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Разложение Хана-Жордана" в других словарях:

  • Разложение Хана—Жордана — Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой σ алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры под которой, обычно понимают положительную σ аддитивную функцию множества, заряд… …   Википедия

  • Разложение — В Викисловаре есть статья «разложение» Разложение  разрушение, распад сложного объекта на составляющие: В химии  реакции разложения В биологии, биохимии  разложение отмерших животных и растительных остатков под действием бактерий и …   Википедия

  • Заряд (теория меры) — У этого термина существуют и другие значения, см. Заряд. Заряд  вещественнозначная конечно аддитивная функция множества, определённая на некоторой алгебре, (например, борелевских подмножеств). В отличие от обычной меры, под которой обычно… …   Википедия

  • ЗАРЯД — обобщенная мера, действительная s аддитивная функция множества, определенная на s алгебре, борелевских подмножеств области и конечная на компактах Разность двух мер является 3.; обратно, таким способом получаются все 3.: для любого 3. v… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»