- Мера Хаусдорфа
-
Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской
-алгебре
метрического пространства
.
Содержание
Определение
Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс
открытых подмножеств
, на котором определил неотрицательную функцию
и
где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества
множествами из
с диаметром, не превосходящим
, то есть
и
Мерой Хаусдорфа
, определяемой классом
и функцией
, называется предел
Примеры
- Пусть
— совокупность всех шаров в
, a
, где
. Тогда соответствующая мера
будет называться
-мерой Хаусдорфа. При
такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при
— плоской мерой Хаусдорфа.
- Если
,
— совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси
и
равна
-мерному объёму осевого сечения цилиндра
, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.
Литература
- Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5.
Примечания
- ↑ Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.
Категория:- Теория меры
Wikimedia Foundation. 2010.