Мера Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской \sigma-алгебре \mathcal{B}(X) метрического пространства X.

Содержание

Определение

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс \mathcal{U} открытых подмножеств X, на котором определил неотрицательную функцию l=\{l(A)\mid A\in\mathcal{U}\} и

\lambda(B,\;\varepsilon)=\inf\left\{\sum_{i=1}^n l(A_i)\right\},

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества B\subset X множествами из \mathcal{U} с диаметром, не превосходящим \varepsilon, то есть

B\subset\bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{U}

и

\mathrm{diam}\,A_i\leqslant\varepsilon,\quad n=1,\;2,\;\ldots

Мерой Хаусдорфа \lambda, определяемой классом \mathcal{U} и функцией l, называется предел

\lambda(B)=\lim_{\varepsilon\to 0}\lambda(B,\;\varepsilon).

Примеры

  1. Пусть \mathcal{U} — совокупность всех шаров в X, a l(A)=(\mathrm{diam}\,A)^\alpha, где \alpha>0. Тогда соответствующая мера \lambda будет называться \alpha-мерой Хаусдорфа. При \alpha=1 такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при \alpha=2 — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если X=\R^{n+1}, \mathcal{U} — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси x_{n+1} и l(A) равна n-мерному объёму осевого сечения цилиндра A\in\mathcal{U}, то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

Литература

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5.

Примечания

  1. Hausdorff, F. Mathematische Annalen. — 1918. — Bd 79. — S. 157—179.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Мера Хаусдорфа" в других словарях:

  • Альфа-мера Хаусдорфа — …   Википедия

  • Мера Жордана — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и мерного объёма в мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства …   Википедия

  • Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества  неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… …   Википедия

  • Мера Лебега — на   мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 …   Википедия

  • ХАУСДОРФА МЕРА — собирательное название класса мер, определенных на борелевской алгебре метрич. пространства Xс помощью следующего построения: пусть нек рый класс открытых подмножеств X, неотрицательная функция, определенная на классе и где нижняя грань берется… …   Математическая энциклопедия

  • Линейная мера — Мера Хаусдорфа  собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ алгебре метрического пространства X. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Ли …   Википедия

  • Плоская мера — Мера Хаусдорфа  собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ алгебре метрического пространства X. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Ли …   Википедия

  • Цилиндрическая мера — Мера Хаусдорфа  собирательное название класса мер, определённых на борелевской σ алгебре метрического пространства X. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Ли …   Википедия

  • Жорданова мера — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и n мерного обьёма в n мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства 3 История …   Википедия

  • Размерность Хаусдорфа — У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения). Размерность Хаусдорфа естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»