Внешняя мера

Внешняя мера

В математике, в частности в теории меры, внешняя мера — это функция, определенная на всех подмножествах данного множества с действительным значением, что удовлетворяет нескольким дополнительным техническим условиям.

Общая теория внешней меры была разработана Константином Каратеодори с целью обеспечить основу для теории измеримых множеств и счётно-аддитивных мер. Работы Каратеодори по внешней мере нашли немало применений в теории измеримых множеств (внешняя мера, например, используется в доказательстве фундаментальной теоремы Каратеодори о продолжении), и была использована Хаусдорфом для определения метрического инварианта, обобщающего размерность, сейчас он называется размерностью Хаусдорфа.

Мера обобщает длину, площадь и объем, но также находит применение для многих абстрактных и необычных вещей, кроме интервалов или же шаров в \mathbb{R}^{3}.

Содержание

Случай числовой прямой

Для произвольного подмножества E числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем, состоящих из конечного или счётного количества интервалов, объединение которых содержит множество E. Назовем такие системы покрытиями. Поскольку сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, является величиной неотрицательной, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю границу. Эта грань, зависящая только от множества E, и называется внешней мерой:

m^*E=\inf\left\{\sum_{i}\Delta_i\right\}

Варианты обозначения внешней меры:

m^*E=\varphi(E)=|E|^*

Формальное определение

Пусть X - фиксированное универсальное множество. Внешней мерой называется функция \mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty], такая, что

  1. \mu^{*}(\varnothing) = 0;
  2. \forall A \subseteq X,\, \forall A_{n} \sub X, n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n \colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}).

Пусть \mu - мера, определенная на кольце K. Внешней мерой, порожденной мерой \mu, называется функция \mu^{*}\colon 2^{X} \longrightarrow [0,\, +\infty], такая, что

  1. \mu^{*}(A) = \inf\bigl\{\sum_{n = 1}^{\infty}\mu(A_{n})\bigr\},\; A_{n} \subset K, n\geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n}, если хоть одно такое покрытие множества A существует;
  2. \mu^{*}(A) = +\infty в противном случае.

Теорема. Внешняя мера \mu^{*}, порожденная мерой \mu, является внешней мерой.

\vartriangleright Проверим пункт первый из определения внешней меры. \mu \geqslant 0 \Rightarrow \mu^{*} \geqslant 0. \mu^{*} определена на 2^{X}.

\varnothing \in K\colon \mu^{*}(\varnothing) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\mu(\varnothing) = 0 \Rightarrow \mu^{*}(\varnothing) = 0.

Проверим второй пункт определения. Пусть A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_n. Если существует такое множество A_{n} из покрытия, что \mu^{*}(A_{n}) = +\infty, то неравенство выполняется. Пусть дальше все множества из покрытия такие, что \mu^{*}(A_{n}) < +\infty,\, \forall n \geqslant 1. Возьмем произвольное \varepsilon > 0, по определению точной нижней границы

\forall n \geqslant 1\, \exists B_{n_{k}} \in K, k \geqslant 1,\, A_{n} \subseteq \bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}}\colon \mu^{*}(A_{n}) > \sum_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} - \frac{\varepsilon}{2^{n}}.

Тогда

\bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} \supseteq \bigcup_{n = 1}^{\infty}A_{n} \supseteq A.

Поскольку \bigcup_{n = 1}^{\infty}\bigcup_{k = 1}^{\infty}B_{n_{k}} является счётным объединением элементов кольца K, то

\mu^{*}(A) \leqslant \sum_{n = 1}^{\infty}\sum_{k = 1}^{\infty}\mu(B_{n_{k}}) < \sum_{n = 1}^{\infty}\bigl(\mu^{*}(A_{n}) + \frac{\varepsilon}{2^{n}}\bigr) = \sum_{n = 1}^{\infty}\mu^{*}(A_{n}) + \varepsilon, \varepsilon \longrightarrow 0+. \vartriangleleft

Свойства внешней меры

Свойства внешней меры \mu^{*}:

  • \forall n \geqslant 1,\, A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k}\colon \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}).

\vartriangleright Действительно,

A \subseteq \bigcup_{k = 1}^{n}A_{k} \cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}) + \mu^{*}(\varnothing) + \mu^{*}(\varnothing) + \cdots = \sum_{k = 1}^{n}\mu^{*}(A_{k}). \vartriangleleft
  • A \subseteq B \Rightarrow \mu^{*}(A) \leqslant \mu^{*}(B) (монотонность).

\vartriangleright Вытекает из предыдущего свойства при n = 1. \vartriangleleft

\mu^{*} — измеримые множества

Пусть \mu^{*} — некоторая внешняя мера, определенная на подмножестве множества X. Тогда множества E \subset X, такие, что для всех A \subset X выполняется равенство:

 \mu^{*}(A) = \mu^{*}(A \cap E) + \mu^{*}(A \cap E^').

называются \mu^{*} — измеримыми. \mu^{*} — измеримые множества образуют σ-кольцо, а функция \mu^{*}, определенная на элементах этого σ-кольца, является мерой, порожденной \mu^{*}. Если внешняя мера \mu^{*} порождена некоторой мерой \mu, определенной на кольце K, то \overline \mu будет продолжением меры \mu (где \overline \mu - определенная выше мера, порожденная \mu^{*}).

Если определить \overline \mu^* некоторой внешней мерой, порожденой мерой \overline \mu, то \mu^{*} = \overline \mu^* тогда и только тогда, когда сама внешняя мера \mu^{*} порождена некоторой мерой \mu.

См. также

Литература

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Внешняя мера" в других словарях:

  • ВНЕШНЯЯ МЕРА — неотрицательная функция множества, обозначаемая , заданная на счетно аддитивном классе множеств, содержащем вместе с множеством любое его подмножество и обладающая свойствами: монотонности, т. е. счетной полуаддитивности, т. е. , где пустое… …   Математическая энциклопедия

  • МЕРА —         филос. категория, выражающая диалектич. единство качеств, и количеств. характеристик объекта. Качество любого объекта органически связано с оп редел. количеством. В рамках данной М. количеств. характеристики могут меняться за счёт… …   Философская энциклопедия

  • Мера Жордана — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и мерного объёма в мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства …   Википедия

  • Мера Лебега — на   мера, являющаяся продолжением меры Жордана на более широкий класс множеств, была введена Лебегом в 1902 году. Содержание 1 Построение меры на прямой 1.1 …   Википедия

  • МЕРА — множества, обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в… …   Математическая энциклопедия

  • КАРАТЕОДОРИ МЕРА — мера m, порожденная внешней мерой Каратеодори m*, где внешняя мера Каратеодори есть внешняя мера, определенная на классе всех подмножеств метрич. пространства М(с метрикой р) и такая, что если р( А, B)>0. Введена К. Каратеодори [1]. Множество… …   Математическая энциклопедия

  • Жорданова мера — Мера Жордана  один из способов формализации понятия длины, площади и n мерного обьёма в n мерном евклидовом пространстве. Содержание 1 Построение 2 Свойства 3 История …   Википедия

  • ЖОРДАНА МЕРА — параллелепипеда в Rn объем этого параллелепипеда. Для ограниченного множества определяются: внешняя мера Жордана и внутренняя мера Жордана где Dj попарно не пересекаются (здесь Dj параллелепипеды вида (*J). Множество Еназ. измеримым по Жордану… …   Математическая энциклопедия

  • Внутренняя и внешняя политика Англии в XVI в. — Абсолютизм Тюдоров В период разложения феодальных отношений и возникновения элементов капитализма в Англии, так же как и в других странах, создаётся феодально абсолютистская монархия. С 1485 по 1603 г. Англией правили короли из династии Тюдоров;… …   Всемирная история. Энциклопедия

  • Внутренняя и внешняя политика правительства после крестьянской войны Е. Пугачева — Укрепление административно полицейского аппарата После подавления восстания Пугачева в стране началась жестокая дворянская реакция. В Поволжье действовали многочисленные карательные отряды, сжигавшие села и деревни, убивавшие и подвергавшие… …   Всемирная история. Энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»