МЕРА

мера множества,- обобщение понятия длины отрезка, площади фигуры, объема тела, интуитивно соответствующее массе множества при нек-ром распределении массы по пространству. Понятие М. множества возникло в теории функций действительного переменного в связи с изучением и усовершенствованием понятия интеграла.

Определения и общие свойства. Пусть X- нек-рое множество и - нек-рый класс его подмножеств. Неотрицательная (не обязательно конечная) функция множеств , определенная на , наз. аддитивной, конечно аддитивной или счетно аддитивной, если

когда

соответственно при п=2, п- любом конечном и

Совокупность подмножеств множества Xназ. полукольцом множеств, если:

существует представление при Совокупность подмножеств множества Xназ. кольцом множеств, если:

Пример полукольца: - совокупность интервалов вида

Совокупность всевозможных конечных объединений таких интервалов является кольцом.

Совокупность подмножеств множества Xназ. s -кольцом, если

Всякое s-кольцо является кольцом; всякое кольцо является полукольцом.

Конечно аддитивной мерой наз. неотрицательная конечно аддитивная функция множеств ттакая, что Областью определенияко нечно аддитивной М. может быть полукольцо, кольцо или s-кольцо. В определении конечно аддитивной меры на кольце или s-кольце условие конечной аддитивности можно ослабить до аддитивности - при этом получается то же понятие.

Если т- конечно аддитивная М. множества Е, принадлежат области ее определения и

то

Конечно аддитивная М. с областью определения наз. продолжением конечно аддитивной меры М. т ₁ с областью определения , если . и при .

Всякая конечно аддитивная М. т, определенная на полукольце , может быть однозначно продолжена до конечно аддитивной М. на наименьшем кольце содержащем . Это продолжение определяется следующим образом: любое представимо в виде полагают равным

Конечно аддитивная М., обладающая свойством счетной аддитивности, наз. мерой. Пример меры: пусть Xпроизвольное непустое множестве, - о-кольцо, кольцо или полукольцо подмножеств X, - счетное подмножество X,- неотрицательные числа. Тогда функция где при при , является М., определенной на . Меры наз. элементарными, или вырожденными, мерами. Не всякая конечно аддитивная М. является М. Напр., если Xесть множество рациональных точек отрезка - полукольцо пересечений всевозможных подинтервалов с Xи для любых

то конечна, но не счетно аддитивна на (Конечно аддитивная) М. тс областью определения наз. конечной (соответственно s-конечной), если для любого (соответственно, если для любого существует последовательность множеств из такая, что ). (Конечно аддитивная) М. тназ. вполне конечной (вполне s-конечной), если она конечна (соответственно s-конечна) и . Пара , где X- множество и есть -кольцо

его подмножеств такое, что , наз. измеримым пространством. Тройка , где - измеримое пространство и есть М. на , наз. пространством с мерой. Пространство с вполне конечной М., нормированной условием , наз. вероятностным пространством. В абстрактной теории М., где исходным является измеримое пространство или пространство с М.множества из наз. измеримыми множествам и.

Свойства пространства с мерой. Пусть - произвольная последовательность измеримых множеств, тогда

для нек-рого i₀, то

3) если lim E_i существует и выполнено условие из 2), то

Определенная на кольце конечно аддитивная М. является М. тогда и только тогда, когда

для любой монотонно возрастающей последовательности множеств из такой, что

Пусть - пространство с М.,- измеримое пространство и Т-измеримое отображение в , т. е. для любого . Мерой, порожденной отображением Т(обозначается mT ^-1 ), наз. М. на , определяемая соотношением ,

Пусть - измеримое пространство и . Пусть на множествах Е из s-кольца

Тогда есть измеримое пространство; М. наз. ограничением меры на Атомом пространства с М. (или меры ) наз. всякое множество положительной меры такое, что если , то либо . Пространство с М., не содержащее атомов, наз. неатомическим, или непрерывным (сама М. при этом тоже наз. неатомической, или непрерывной). Если -пространство с неатомич. -конечной М. и то для любого (возможно, равного ) существует такой элемент , что и

Пространство с М. (или мера ) наз. полным, если из следует, что . Всякое пространство с М.можно пополнить,

если к присоединить множества вида , где и положив для них . Класс множеств указанного вида образует s-кольцо, при этом - полная М. на нем. Множества нулевой М. наз. нулевыми множествами. Если множество точек из X, для к-рых нек-рое свойство Qне выполняется, является нулевым множеством, то говорят, что свойство Qвыполняется почти всюду.

Продолжение мер. М. есть продолжение М., если есть продолжение мер в классе конечно аддитивных М. (см. выше). Всякую определенную на полукольце М. можно однозначно продолжить до М. на кольце , порожденном (продолжение осуществляется с помощью той же конструкции, что и в случае конечно аддитивных М.). Далее, всякую М. , определенную на кольце , можно продолжить до М. на порожденном -кольцо ; если s-конечна, то это продолжение единственно и s-конечно. Значение на множестве можно задать формулой

Наследственным классом подмножеств множества Xназ. всякий класс, содержащий вместе с каждым своим множеством любое его подмножество. Внешней мерой наз. функция множеств , определенная на наследственном s-кольце (классе множеств, являющемся одновременно наследственным классом и s-кольцом) и обладающая следующими свойствами:

По М.на кольце можно построить внешнюю М. на наследственном s-кольце , порожденном состоит из всех множеств, к-рые могут быть покрыты объединением счетного числа множеств из ), по формуле

Внешняя М.наз. внешней мерой, индуцированной мерой Пусть - внешняя М. на наследственном s-кольце подмножеств X. Множество наз. -измеримым, если

для любого . Совокупность -измеримых множеств образует s-кольцо, содержащее все множества нулевой внешней М., а функция множеств определяемая равенством является полной мерой. М.наз. мерой, индуцированной внешней мерой .

Пусть есть М. на кольце - внешняя М. на , индуцированная М. . Пусть - совокупность -измеримых множеств, есть . на индуцированная внешней М.. Тогда М.есть продолжение М., и поскольку то функция на , задаваемая формулой (*), тоже М., продолжающая . Если исходная М.на s-конечна, то пространство является пополнением пространства , см. (*). Если М.. задана на s -кольце , то индуцированная ею внешняя М.на наследственном s-кольце , порожденном , дается формулой

Наряду с внешней М. вводится понятие внутренней меры , индуцированной мерой на , именно:

Для всякого множества из определяются его измеримое ядро и измеримая оболочка как множества из такие, что и для любых таких, что Измеримое ядро всегда существует, а измеримая оболочка существует всякий раз, когда имеет s-конечную внешнюю М.; при этом Пусть есть М. на кольце и - ее продолжение на порожденное кольцо . Внутреннюю М. на подмножествах множества конечной -меры можно выразить в терминах внешней М. (а стало быть, и ):

Кроме того, множество Fиз наследственного s-кольца с конечной внешней -мерой -измеримо тогда и только тогда, когда В случае, когда исходная М.на вполне конечна, справедливо следующее необходимое и достаточное условие -измеримости множества

Для вполне конечных мер на это условие нередко берется в качестве определения -измеримости Е.

Если - измеримое пространство с -конечной М. и - конечное число множеств из наследственного s-кольца , порожденном , то на s-кольце , порожденном и множествами Х _п , можно определить М. , совпадающую на с .

Меры Жордана, Лебега и Лебега - Стилтьеса. Примером продолжения М. является мера Лебега в Интервалы вида

образуют полукольцо в . Пусть для каждого такого интервала

[совпадает с объемом I]. Функция l -конечна и счетно аддитивна на и однозначно продолжается до М. l' на s-кольце , порожденном , к-рое совпадает с s-кольцом борелееских множеств (или множеств, измеримых по Борелю) в ; М. впервые была определена Э. Борелем (Е. Borel, 1898) (см. Бореля мера). Пополнение М. l' (определенное на ) наз. мерой Лебега, введенной в 1902 А. Лебегом (Н. Lebesgue) (см. Лебега мера). Множества из области определения меры наз. измеримыми по Лебегу. Ограниченное множество принадлежит тогда и только тогда, когда , где -какой-либо интервал, содержащий Е, при этом . Множество принадлежит тогда и только тогда, когда при всех пдля нек-рой последовательности {r _п}, r_n>0, где Мощность совокупности всех борелевских множеств в есть (мощность континуума), а мощность совокупности всех множеств, измеримых по Лебегу, есть , так что включение строгое, т. е. есть множества, измеримые по Лебегу и неизмеримые по Борелю.

Мера Лебега инвариантна относительно ортогональных линейных преобразований Апространства и относительно сдвигов на для любого

Используя аксиому произвольного выбора, можно показать, что существуют множества, неизмеримые по Лебегу. Напр., на прямой таковым является множество, к-рое получится, если взять по одной точке из каждого класса смежности по аддитивной подгруппе рациональных чисел.

Мерам Бореля и Лебега в исторически предшествовала М., определенная К. Жорданом (К. Jordan, 18921 (см. Жордана мера). Определение меры Жор-дана идейно весьма близко к классич. определению площади и объема, восходящему к древним грекам: множество наз. измеримым по Жордану, если найдутся множества, являющиеся конечными объединениями непересекающихся прямоугольников, одно - содержащееся в Е, другое - содержащее Е, разность объемов (определяемых очевидным образом) к-рых сколь угодно мала. Мерой Жордана такого множества Еназ. нижняя грань объемов множеств - конечных объединений прямоугольников, накрывающих Е. Множество, измеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу, и его мера Жордана совпадает с его мерой Лебега. Область определения меры Жордана является кольцом, но не s-кольцом, и это сильно сужает границы ее применимости.

Мера Лебега является частным случаем более общей меры Лебега - Стилтьеса. Последняя определяется посредством определенной на R^k действительной функции Fтакой, что

при где - разностный оператор с шагом , взятый в точкеприменительно

к i-й координате,

По заданной функции FМ.интервала

определяется формулой

оказывается счетно аддитивной на полукольце всех таких интервалов и продолжается на s-алгебру борелевских множеств; пополнение этого продолжения и есть мера Лебега - Стилтьеса, отвечающая функции F. В частном случае, когда

получается мера Лебега.

Меры в произведениях пространств. Произведением измеримых пространств и наз. измеримое пространство, образованное множеством (произведением множеств ) и s-кольцом его подмножеств (произведением s-колец и ), порожденным полукольцом множеств вида

Если -пространства с М., то формула

определяет М. на ; когда М.и s-конечны, М. (д. однозначно продолжается до М. на , обозначаемой Мера и пространство ( , ) наз. соответственно произведением мер и ипро изведен и ем пространств с мерой и Пополнение произведения меры Лебега в и меры Лебега в есть мера Лебега в . Аналогично определяется произведение любого конечного числа пространств с М.

Пусть - произвольная совокупность пространств с М. таких, что Пространство-произведение по определению, есть множество всех функций на I, принимающих при каждом значение . Измеримым прямоугольником в Xназ. множество вида , где и лишь конечное число отлично от . Семейство измеримых прямоугольников образует полукольцо . Порожденное s-кольцо обозначается и наз. произведением s-колец . Пусть - функция на , определенная равенством для Так, определенная функция |х является М., к-рая может быть однозначно продолжена до М., обозначаемой на Пространство наз. произведением пространств

Произведение пространств с М. в произвольном числе является частным случаем следующей более общей схемы, играющей важную роль в теории вероятностей. Пусть , ,- семейство измеримых пространств (есть -алгебра) и пусть для каждого конечного множества в измеримом пространство () задана вероятностная М. m_I , (произведение М. соответствует тому случаю, когда для любого конечного.). Пусть М. и согласованы в том смысле, что если и проекция на то для вcех (по определинию,есть такое отображение на что при всех ). Существует ли вероятностная М. на такая, что для любого конечного и любого справедливо равенство , где - проекция на Оказывается, что такая М. существует не всегда, для ее существования нужны дополнительные условия. Одним из таких условий является совершенность М. (отвечающих одноточечным множествам ). Понятие совершенной М. впервые было введено Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогоровым [6]. Пространство с вполне конечной М.и сама М.наз. совершенными, если для всякой -измеримой действительной .функции найдется такое борелевское множество , что . В рамках совершенных М. невозможен целый ряд "патологических" явлений, возникающих в общей теории М.

Меры в топологических пространствах. При изучении М. в топологич. пространствах обычно рассматривают М., определенные на множествах, так или иначе связанных с топологией пространства. Один из типичных подходов состоит в следующем. Пусть X - произвольное топологич. пространство и - класс множеств вида f ^-1(F), где f - действительная непрерывная функция на Xи - замкнутое множество. Пусть - алгебра, порожденная классом есть а-алгебра, порожденная ( наз. s-алгеброй бэровских множеств), и пусть - класс вполне конечных конечно аддитивных М. тна , регулярных в том смысле, что

для любого . В выделяют подмножества , образованные (конечно аддитивными) М., обладающими дополнительными свойствами гладкости. По определению,для любой последовательности (это свойство равносильно счетной аддитивности m ;M. из могут быть однозначно продолжены на , и в дальнейшем они считаются заданными на ),, если для любой сети если для любого e>0существует компакт Ктакой, что , когда Имеют место включения М. из M_s наз. бэровскими мерами.

Существует тесная связь между М. из и линейными функционалами на пространстве С(X)ограниченных непрерывных функций на X. Именно, формула

устанавливает взаимно однозначное соответствие между М. и неотрицательными линейными функционалами Л на С(X)(неотрицательность означает, что , когда ). Более того, для любого где - индикатор множества Z. При этом М. из отвечают ст-гладкие функционалы (т. <е. такие, что когда в С(Х)),М. из отвечают t - гладкие функционалы (т. <е. такие, что для любой сети в ) и М. из соответствуют плотные функционалы Щ (т. е. такие, что для любой сети в С(Х)такой, что при всех равномерно на компактных подмножествах; здесь равномерная норма).

В пространстве обычно рассматривается слабая топология ; в этой топологии базисными окрестностями являются множества вида

В топологии есть вполне регулярное хаусдорфово пространство. Сходимость в топологии wобычно обозначается знаком =>. Для сходимости сети необходимо и достаточно, чтобы и lim sup для всех . Другим необходимым и достаточным условием является для всех таких, что существует для к-рых . Если пространство Xвполне регулярно и хаусдорфово, то метризуемо тогда и только тогда, когда метризуомо X. Если X - метрич. пространство, то метризуемо как сепарабельное метрич. пространство тогда и только тогда, когда Xсепарабельно, и метризуемо как полное метрич. пространство тогда и только тогда, когда X метрпзуемо как полное метрич. пространство. Когда X метризуемо, метризуемо тогда и только тогда, когда оно метризуемо Леви- Прохорова метрикой.

Пространство секвенциально замкнуто в (теорема Александрова). Множество наз. плотным, если sup и если для любого существует компакт Ктакой, что , когда , , . Если плотно, то Аотносительно компактно в ; обратно, если X метризуемо и топологически полно, относительно компактно и каждая мера из Асосредоточена на нек-ром сепарабельном подмножестве, то Аплотно (теорема Прохорова).

При определенных условиях М. из могут быть продолжены до борелевских М., т. е. М., определенных на s-алгебре борелевских множеств (см. Борелевское множество, Вореля мера). Так, если X - нормальное хаусдорфово счетно паракомпактное пространство, то каждая М. может быть однозначно продолжена до регулярной борелевской М. Если X - вполне регулярно и хаусдорфово, то всякая t-гладкая (плотная) бзровская М. может быть однозначно продолжена до регулярной t-гладкой (плотной) борелевской М.

Носителем бэровской (борелевской) М. наз. наименьшое множество из (наименьшее замкнутое множество), М. к-рого совпадает с М. всего пространства. У -гладких М. носители всегда существуют.

Нередко при рассмотрении М. в топологич. пространствах (особенно-в локально компактных хаусдорфовых пространствах) борелевские и бэровские М. считают заданными на более узких классах множеств - на -кольцах, порожденных соответственно компактными множествами и компактными -множествами.

Пусть G- локально компактная хаусдорфова топологич. группа. Левой мерой Хаарав Gназ. М., определенная на о-кольце, .порожденном всеми компактными множествами, не равная тождественно нулю и такая, что для любых и Еиз области определения .Правая мера Хаара определяется аналогично заменой условия на условие . В любой группе рассматриваемого типа существует и единственна (с точностью до мультипликативной положительной постоянной) левая мера Хаара. Всякая левая мера Хаара регулярна в том смысле, что где К- компактные множества. Аналогичными свойствами обладает и правая мера Хаара., Мера Лебега в является частным случаем Хаара меры, См, также ст. Мера в топологическом векторном пространстве.

Изоморфизм пространств с мерой. Пусть - пространство с М. Назовем множества m - равными , если (здесь - симметрич. разность Еи Е'). Класс множеств с таким определением равенства обозначим . В корректно определены теоретико-множественные операции, проводимые в конечном (или счетном) числе; напр., если . Мера m. переносится очевидным образом на

Пусть -подмножество , состоящее из множеств конечной М. Функция на является метрикой. Пространство с М. наз. сепарабельным, если с метрикой сепарабельно. Если - пространство с s-конечной М. и s-кольцо имеет счетное число образующих (т. е. существует счетное множество такое, что есть наименьшее содержащее его s-кольцо), то метрич. пространство сепарабельно.

Два пространства с М. ( )и () наз. изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение из на такое, что и для любых . Пусть теперь - произвольное пространство с вполне конечной М. Существует разбиение Xна непересекающиеся множества такое, что ограничение на изоморфно либо М., сосредоточенной в одной точке, либо М., с точностью до положительного множителя равной прямому произведению

где

а множество может иметь произвольную мощность (теорема Магарам - Колмогорова). Если пространство сепарабельно, неатомическое и то оно изоморфно пространству где счетно, к-рое в свою очередь изоморфно единичному интервалу с мерой Лебега.

Наряду с теорией М. как функции подмножеств нек-рого множества развита также теория М. как функции элементов булева кольца (или булевой алгебры);эти теории во многом параллельны. Другая распространенная конструкция М. восходит к У. Юнгу (W. Young) и П. Даниелю (P. Daniell) (см. [12]). Помимо теории положительных М., имеются также развитые теории М., значения к-рых действительны, комплексны или, вообще, принадлежат нек-рым алгебраич. структурам.

Лит.:[1] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949: [2] Xалмош П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Данфорд Н., Шварц Дж ., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [4] Колмогоров А. Н., Фомин С. <В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [5] Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; [6] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; 17] Варадарайн В. С, "Матем. сб.", 1961, т. 55, № 1, с. 35-100; [8] Раrthasаrathу К. R., Probability measures on metric spaces, N. Y.-L., 1967;[9] Биллингсли П., Сходимость вероятностных мер, пер. с англ., М., 1977; [10] Сикорский Р., Булевы алгебры, пер. с англ., М., 1969; [11] Владимиров Д. А., Булевы алгебры, М., 1969; [12] Бурбаки Н., Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах, пер. с франц., М., 1977; [13] Diestеl J., Uhl J., Vector measures, Providence, 1977.

В. В. Сазонов.