Простой идеал

Простой идеал

В коммутативном кольце A идеал I называется простым, если факторкольцо по нему A / I является областью целостности. Равносильная формулировка: если I \neq A и из ab\in I следует a\in I или b\in I.

Понятие простого идеала является частным случаем понятия первичного идеала.

Одна из важнейших конструкций коммутативной алгебры, использующих понятие простого идеала — локализация кольца A по простому идеалу I.

Множество всех простых идеалов кольца A образует спектр кольца \mathrm{Spec} A. В его определение также входит описание топологии и структурного пучка локальных колец, превращающие его в аффинную схему — базовый объект алгебраической геометрии.


Свойства

  • Максимальный идеал I кольца A (т.е. собственный идеал, не содержащийся ни в каком собственном идеале) является простым.
  • Идеал I прост, если элементы дополнения к нему образуют мультипликативную систему. Подмножество кольца с единицей называется мультипликативной системой, если оно содержит единицу, не содержит нуля и замкнуто по умножению.
  • Теорема отделимости: Пусть в коммутативном кольце A с единицей задан идеал I, не пересекающийся с мультипликативной системой S_0. Тогда существует простой идеал I_0, содержащий I и не пересекающийся с системой S_0.
  • Теорема о радикале: Пересечение всех простых идеалов, содержащих идеал I, совпадает с радикалом идеала I. Радикал идеала I — это множество \sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in I\}. Оно тоже является идеалом кольца A.


Примеры

  • В кольце целых чисел A=\mathbb{Z} каждый простой идеал имеет вид pA, где p — простое число.
  • В кольце многочленов от одной переменной A=\mathbb{R}[x] каждый простой идеал имеет вид pA, где p — неприводимый над \mathbb{R} многочлен.
  • В кольце многочленов A=\mathbb{Q}[x,y] множество I=xA+yA является простым идеалом.

Литература

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Простой идеал" в других словарях:

  • ПРОСТОЙ ИДЕАЛ — двусторонний идеал Ркольца Rтакой, что из , где Аи В идеалы в R, следует, что либо , либо . Для ассоциативного кольца экливалентным определением на языке элементов будет следующее: или , где а, b элементы кольца R. Всякий примитивный идеал прост …   Математическая энциклопедия

  • Простой элемент — ― обобщение понятия простого числа. Содержание 1 Определение 2 Свойства 3 Вариации и обобщения …   Википедия

  • Идеал (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения). Идеал одно из основных понятий абстрактной алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других… …   Википедия

  • ПРОСТОЙ ЭЛЕМЕНТ — обобщение понятия простого числа. Пусть G область целостности или коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения. Ненулевой элемент , не являющийся делителем единицы, наз. простым, если произведение аb может делиться на… …   Математическая энциклопедия

  • НЕРАЗВЕТВЛЕННЫЙ ИДЕАЛ — простой идеал поля алгебраич. чисел К, лежащий над таким простым числом р, что главный идеал (р) имеет в поле Кразложение в произведение простых идеалов вида причем . Точнее этот идеал наз. абсолютно неразветвленным. В общем случае, пусть А… …   Математическая энциклопедия

  • КРИТИЧЕСКИЙ ИДЕАЛ — простой идеал дедекиндова кольца А, делящий дискриминант конечного сенарабельного расширения K/k, где k поле частных кольца А. К. и. и только такие идеалы разветвлены в расширении K/k. Простой идеал р кольца А наз. разветвленным в K/k, если в… …   Математическая энциклопедия

  • МАКСИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ — максимальный элемент в частично упорядоченном множестве тех или иных собственных идеалов соответствующей алгебраич. системы. М. и. играют существенную роль в теории колец. Всякое кольцо с единицей обладает левыми (а также правыми и двусторонними) …   Математическая энциклопедия

  • МИНИМАЛЬНЫЙ ИДЕАЛ — минимальный элемент частично упорядоченного множества идеалов определенного типа нек рой алгебраич. системы. Поскольку порядок в множестве идеалов определяется отношением включения, М. и. идеал, не содержащий отличных от себя идеалов того же типа …   Математическая энциклопедия

  • Потребительский идеал в СССР — Основная статья: Советский образ жизни «Квартира, дача, машина»  триада, характеризующая потребительский идеал, сложившийся в советском обществе в 1960 1980 е годы (в шуточной форме  «Дачка, тачка и собачка»).[1][2][3][4][5] …   Википедия

  • Нильпотентный идеал — односторонний или двусторонний идеал кольца такой, что для некоторого натурального выполняется , то есть произведение любых элементов идеала равно нулю. Примеры В кольце вычетов по модулю …   Википедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»