Тензор Риччи

Тензор Риччи

Тензор Риччи, названный в честь Риччи-Курбастро, задаёт один из способов измерения кривизны многообразия, то есть степени отличия геометрии многообразия от геометрии плоского евклидова пространства. Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор, есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия. Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма, то есть степень отличия n-мерных областей n-мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.

Содержание

Формальное определение

Пусть (M,g)n-мерное риманово многообразие, а T_pMкасательное пространство к M в точке p. Для любой пары \xi, \eta\in T_pM касательных векторов в точке p, тензор Риччи \mathrm{Ric} (\xi , \eta ), по определению, отображает (\xi, \eta ) в след линейного автоморфизма T_pM\to T_pM, заданного тензором кривизны Римана R:

\zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

\operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j

где R_{ij} = {R^k}_{ikj}. — след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия (M,g) можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства \delta_{ij} (или метрике Минковского \eta_{ij} в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p:

d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3)\Big] d\mu_{{\rm Euclidean}}

Таким образом, если кривизна Риччи \textrm{Ric}(\xi , \xi ) положительна в направлении вектора \xi, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении \xi, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора \xi будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Кривизна Риччи и геометрия в целом

Пусть M есть полное n-мерное риманово многообразие с \operatorname{Ric}_M\ge (n-1)\kappa

  • Неравенство Бишопа — Громова. Пусть p\in M, обозначим через v_p(r) есть объём шара радиуса r с центром в p. обозначим через \tilde v(r) объём шара радиуса r в n-мерном пространстве постоянной кривизны \kappa. Тогда отношение
    \frac{v_p(r)}{\tilde v(r)}
есть невозрастающая функция от r.

Приложения тензора Риччи

  • Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи, в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Тензор Риччи" в других словарях:

  • Тензор Вейля — Тензор кривизны Вейля это часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием что построенный по нему тензор Риччи равен нулю. Назван в… …   Википедия

  • Риччи-Курбастро — Риччи Курбастро, Грегорио Грегорио Риччи Курбастро Gregorio Ricci Curbastro Дата рождения: 12 января …   Википедия

  • Тензор Шутена — Связать? Тензор Шутена в римановой геометрии существует для размерностей n > 3 и определяется как где …   Википедия

  • Тензор Схоутена — в римановой геометрии существует для размерностей > 3 и определяется как где   тензор Риччи,   скалярная кривизна,   метрический тензор и …   Википедия

  • РИЧЧИ КРИВИЗНА — р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М р по формуле где cR Риччи тензор, v вектор, порождающий одномерное подпространство, g метрич. тензор… …   Математическая энциклопедия

  • Тензор кривизны — Риманов тензор кривизны представляет собой стандартный способ выражения кривизны римановых многообразий, а в общем случае  произвольных многообразий аффинной связности, без кручения или с кручением. Назван в честь Бернхарда Римана.… …   Википедия

  • Тензор — У этого термина существуют и другие значения, см. Тензор (компания). Тензор (от лат. tensus, «напряженный»)  объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. Частными случаями… …   Википедия

  • Тензор энергии-импульса — (ТЭИ)  симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем. Тензор энергии импульса является дальнейшим… …   Википедия

  • Риччи-Курбастро, Грегорио — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Риччи. Грегорио Риччи Курбастро Gregorio Ricci Curbastro …   Википедия

  • Риччи-Курбастро Грегорио — Грегорио Риччи Курбастро Gregorio Ricci Curbastro Дата рождения: 12 января 1853 Место рождения: Луго Дата смерти: 6 августа 1925 Место смерти: Болонья Гражданство …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»