Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второй валентности (ранга), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи^[1], и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира^[2].
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — плотности компонент импульса, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

$T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right)$

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус. В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице $~{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)$, где $~{\rho}$ есть плотность массы, а $~p$ — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

$T^{ik} = \rho\, u^i u^k$

где $\rho$ - плотность массы (покоя), $u^i, u^k$ - компоненты 4-скорости - записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$, зависящего от полевых функций $\phi_i \,$ и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

$\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cases}$

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

${{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,$

который имеет вид

$\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.$

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

$T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} .$

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора $T^{\mu\nu}\,$ к симметризованному виду добавлением тензорной величины $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$ где тензор $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ антисимметричен по двум последним индексам $\psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu} \,$. Действительно, для симметризованного ТЭИ

$\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}$

автоматически следует закон сохранения $\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ $T^ {\mu \nu} (x)$ выражается через вариационную производную по метрическому тензору $g_{\mu\nu}$ в точке $x$ пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

${T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=$

$=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right),$

где $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$ Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

$\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),$

где $R_{ \mu \nu }$ — тензор Риччи, $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$ — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

$T^\mu_{\nu;\mu}=0.$

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в системе СИ имеет вид:

$T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}$

$\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]$

$T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}$^[3]

В ковариантной форме можно записать:

$T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,.$

Тензор энергии-импульса в квантовой теории поля

Примечания

1. ↑ Полями материи (материальными полями) в общей теории относительности традиционно называются все поля, кроме гравитационного.
2. ↑ M. Morris, K. Thorne, and U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition, Physical Review, 61, 13, September 1988, pp. 1446—1449
3. ↑ Максвелла тензор натяжений // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988—1998.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.

См. также

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна