РИЧЧИ КРИВИЗНА

р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е - число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М _р по формуле

где cR - Риччи тензор, v - вектор, порождающий одномерное подпространство, g - метрич. тензор риманова многообразия М. Р. к. выражается через секционные кривизны многообразия М. Пусть K _р(a,b) - секционная кривизна в точке в направлении площадки, определяемой векторами a и b, l₁, . . ., l_n-1 - нормированные векторы, ортогональные друг другу и вектору v, п- размерность М, тогда

Для многообразий Мразмерности больше двух имеет место следующее предложение: если Р. к. в точке имеет одно и то же значение r по всем направлениям v, то Р. к. имеет одно и то же значение rво всех точках многообразия. Многообразия с постоянной Р. к. наз. п р о с т р а н с т в а м и Э й н ш т е й н а. Тензор Риччи пространства Эйнштейна имеет вид cR = rg, где r - Р. к. Для пространства Эйнштейна выполняется равенство

где R_ij, R^ij - ковариантные и контравариантные координаты тензора Риччи, п - размерность пространства, s - скалярная кривизна пространства.

Р. к. может быть определена и на псевдоримановых многообразиях с помощью аналогичных формул, в этом случае вектор предполагается неизотропным.

По Р. к. однозначно восстанавливается тензор Риччи:

Лит.:[1] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] П е т р о в А. З., Пространства Эйнштейна, М., 1961.

Л. А. Сидоров.