- РИЧЧИ КРИВИЗНА
р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е
- число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М р по формуле
где cR - Риччи тензор, v - вектор, порождающий одномерное подпространство, g - метрич. тензор риманова многообразия М. Р. к. выражается через секционные кривизны многообразия М. Пусть K р(a,b) - секционная кривизна в точке
в направлении площадки, определяемой векторами a и b, l1, . . ., ln-1 - нормированные векторы, ортогональные друг другу и вектору v, п- размерность М, тогда
Для многообразий Мразмерности больше двух имеет место следующее предложение: если Р. к. в точке
имеет одно и то же значение r по всем направлениям v, то Р. к. имеет одно и то же значение rво всех точках многообразия. Многообразия с постоянной Р. к. наз. п р о с т р а н с т в а м и Э й н ш т е й н а. Тензор Риччи пространства Эйнштейна имеет вид cR = rg, где r - Р. к. Для пространства Эйнштейна выполняется равенство
где Rij, Rij - ковариантные и контравариантные координаты тензора Риччи, п - размерность пространства, s - скалярная кривизна пространства.
Р. к. может быть определена и на псевдоримановых многообразиях с помощью аналогичных формул, в этом случае вектор предполагается неизотропным.
По Р. к. однозначно восстанавливается тензор Риччи:
Лит.:[1] Г р о м о л Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [2] П е т р о в А. З., Пространства Эйнштейна, М., 1961.
Л. А. Сидоров.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
