Группа Баумслага

В алгебре, группа Баумслага — Солитера  — группа с двумя образующими $a$ и $b$ и одним соотношением

$ab^m a^{-1}=b^n.$

Эта группа обычно обозначается $BS(m,n)$.

Примеры и свойства

• $BS(1,1)$ это свободная абелева группа с двумя образующими,
• $BS(1,-1)$ фундаментальная группа бутылки Клейна
• $BS(1,n)$ при $n>1$ изоморфна подгруппе группы аффинных преобразований вещественной прямой, порождённая отображениями $a:x\to nx$ и $b:x\to x+1$.
• Группа $BS(2,3)$ (наряду с остальными группами $BS(m, n)$, для которых множества простых делителей чисел m и n не совпадают) является наиболее известным примером нехопфовой группы (англ.)^[1]. А именно, эпиморфизм $\varphi:a\mapsto a, \, \varphi:b\mapsto b^2$ не является автоморфизмом $BS(2,3)$.
• Группа $BS(n,m)$ допускает линейное представление $a\mapsto \big(\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}\big)$ and $b\mapsto \big(\begin{smallmatrix}\frac{n}{m}&0\\0&1\end{smallmatrix}\big)$.
• Группа $BS(m,n)$ остаточно конечна тогда и только тогда когда $|m|=1$, $|n|=1$, или $|m|=|n|$^[2]

Ссылки

1. ↑ D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
2. ↑ Stephen Meskin, Nonresidually Finite One-Relator Groups

• D.J. Collins (2001), «Baumslag-Solitar group», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104.
• Gilbert Baumslag and Donald Solitar, Some two-generator one-relator non-Hopfian groups, Bulletin of the American Mathematical Society 68 (1962), 199—201. MR0142635