Интеграл Лебега — Стилтьеса

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют индуктивно, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,\mathcal{F},\mu)$, и на нем определена измеримая функция $f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.

Определение 1. Пусть $\,f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x) = \mathbf{1}_A(x)$, где $A \in \mathcal{F}$. Тогда интеграл Лебега функции $\,f$ по определению:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \equiv \int\limits_X f\, d\mu = \mu( A ).$

Определение 2. Пусть $\,f$ — простая функция, то есть $f(x) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mathbf{1}_{F_i}(x)$, где $\{f_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb{R}$, а $\{F_i\}_{i=1}^n \subset \mathcal{F}$ — конечное разбиение $\,X$ на измеримые множества. Тогда

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \sum\limits_{i=1}^n f_i\, \mu(F_i)$.

Определение 3. Пусть теперь $\,f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x) \geq 0\; \forall x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\,\{f_s\}$, такие что $f_s(x) \leq f(x)\; \forall x\in X$. Обозначим это семейство $\mathcal{P}_f$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от f задаётся формулой:

$\int\limits_X f(x)\,\mu(dx) = \sup\left\{\int\limits_X f_s(x)\,\mu(dx)\; \vert\; f_s \in \mathcal{P}_f \right\}$

Наконец, если функция f произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$\,f(x) = f^+(x) - f^-(x),$

где

$f^+(x) = \max(f(x),0),\; f^-(x) = - \min( 0, f(x))$.

Определение 4. Пусть $\,f$ — произвольная измеримая функция. Тогда ее интеграл задаётся формулой:

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f^+(x)\, \mu(dx) - \int\limits_X f^-(x)\, \mu(dx)$.

Определение 5. Пусть наконец $A \in \mathcal{F}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int\limits_A f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X f(x)\, \mathbf{1}_A(x)\, \mu(dx)$,

где $\mathbf{1}_A(x)$ — индикатор-функция множества A.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x) \equiv \mathbf{1}_{\mathbb{Q}_{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],\mathcal{B}([0,1]),m)$, где $\mathcal{B}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $\,[0,1]$, а $\,m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $\,1$ в рациональных точках и $\,0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $\,f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int\limits_{[0,1]}f(x)\, m(dx) = 1 \cdot m(\mathbb{Q}_{[0,1]}) + 0 \cdot m( [0,1] \setminus \mathbb{Q}_{[0,1]} ) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0.$

Действительно, мера отрезка [0,1] равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна 1 − 0 = 1.

Замечания

• Так как $\,|f(x)| = f^+(x) + f^-(x)$, измеримая функция $\,f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $\,|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ и измерима, то она называется случайной величиной, а ее интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Простейшие свойства интеграла Лебега

• Интеграл Лебега линеен, то есть

$\int\limits_X[af(x)+bg(x)]\, \mu(dx) = a \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) + b\int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$,

где $a,b\in \mathbb{R}$ — произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0 \leq f(x) \leq g(x)$ п.в., и $\,g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $\,f(x)$, и более того

$0 \leq \int\limits_X f(x)\, \mu(dx) \leq \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $\,f(x) = g(x)$ п.в., то

$\int\limits_X f(x)\, \mu(dx) = \int\limits_X g(x)\, \mu(dx)$.

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости;
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
• Лемма Фату.