Фурье ряд

Фурье ряд

Ряд Фурье — представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда

 f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos(2\pi \frac{k}{\tau}x+\theta_k)

Этот ряд может быть также переписан в виде

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{i2\pi \frac{k}{\tau}x}.

где

Ak — амплитуда k-го гармонического колебания (функции cos),
2\pi \frac{k}{\tau} = k\omega — круговая частота гармонического колебания,
θk - начальная фаза k-го колебания,
\hat{f}_k - k-я комплексная амплитуда

В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова...

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.

Содержание

Тригонометрический ряд Фурье

Неформальное обсуждение

Вектор в евклидовом пространстве можно разложить по ортонормированному базису. При этом многие действия с этим вектором станут намного проще. Функции, заданные на некотором замкнутом ограниченном промежутке, во многом аналогичны векторам — они также образуют линейное пространство, их можно складывать и умножать на числа. Не можем ли мы определить и в этом случае аналогичную процедуру разложения по базису?

Ответ: можем. Для этого необходимо определить наше пространство функций, задать на этом пространстве скалярное произведение и зафиксировать базис, по которому мы будем раскладывать. Наиболее удобные и естественные (для большинства случаев) определение скалярного произведения и выбор базиса приводят к тригонометрическому ряду Фурье.

Скалярное произведение и ортогональность

Пусть φn, φm — две функции пространства L^2[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}]. Определим их скалярное произведение

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx

Условие ортогональности

\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x)\phi_n(x)dx = ||\phi_m(x)||^2\delta_{nm}

где δnm - дельта Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при n = m или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида sin(kx), cos(kx) попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных k\neq l:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx)dx = 0

и при всех целых неотрицательных k, l

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0.

Еще одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве L2[0,2π]. Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида \cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}, то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определение

Тригонометрическим рядом Фурье функции f\in L_2([-\pi,\pi]) называют функциональный ряд вида

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)
(1)

где

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,
b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Числа a0, an и bn (n = 1, 2, \ldots) называются коэффициентами Фурье функции f. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию f\in L_2([0,2\pi]) в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты a0, an и bn. Если умножить правую часть (1) на cos(kx) и проинтегрировать по промежутку [ − π,π], благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент ak. Аналогично для bk

Ряд (1) сходится к функции f в пространстве L2([ − π,π]). Иными словами, если обозначить через Sk(x) частичные суммы ряда (1):

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),

то их среднеквадратичное отклонение от функции f будет стремиться к нулю:

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная запись

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) комплекснозначных функций со скалярным произведением

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.

Мы также рассматриваем систему функций

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}) может быть разложена по ним в ряд Фурье:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx},

где ряд в правой части сходится к f по норме в f\in L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}). Здесь

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx,.

Коэффициенты : \hat{f}_k связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для ее разложения \hat{f}_k и \hat{f}_{-k} не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда Фурье

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C}).

  • Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k
  • Справедливо равенство Парсеваля:
2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||_2^2.
  • Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k
  • коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:
\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{k-j}
  • рассмотрим операцию свертки функций:
(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(t-x)g(x) dx,

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка [ − π,π] на всю прямую. Тогда

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Обобщения

Ряды Фурье в гильбертовом пространстве

Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая пространства L2[ − π,π] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны ортогональная система \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\} в гильбертовом пространстве R и f — произвольный элемент из R. Предположим, мы хотим представить f в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов \{\varphi_k\}:

f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n

Домножим это выражение на \varphi_k. С учётом ортогональности системы функций \{\varphi_k\} все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при n = k:

   (f, \varphi_k) = c_k||\varphi_k||^2

Последовательность чисел

c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{||\varphi_k||^2}

называется координатами, или коэффициентами Фурье элемента f по системе \{\varphi_k\}, а ряд

\sum_k c_k \varphi_k

называется рядом Фурье элемента f по ортогональной системе \{\varphi_k\}.

Ряд Фурье любого элемента f по любой ортогональной системе сходится в пространстве R, но его сумма не обязательно равна f. Для ортонормированной системы {\varphi_k} в сепарабельном гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

  • система является базисом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
  • система является полной, то есть в R не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... одновременно.
  • система является замкнутой, то есть для любого f\in R выполнено равенство Парсеваля
\sum_{k=1}^\infty c_k^2 = ||f||^2.
  • линейные комбинации элементов \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ... плотны в пространстве R.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента f равна его ортогональной проекции на замыкание линейной оболочки элементов \varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, .... В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо неравенство Бесселя:

\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \le ||f||^2

Двойственность Понтрягина

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со сверткой — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению дифференциальных, интегральных и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляет такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на локально-компактных абелевых группах. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

Сходимость ряда Фурье

Сходимость ряда Фурье

Обзор результатов о сходимости ряда Фурье

Обозначим через SN(f,x) частичные суммы ряда Фурье функции f(x):

S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}.

Далее обсуждается сходимость последовательности функций SN(f,x) к функции f(x) в различных смыслах. Функция f предполагается -периодической (если она задана только на промежутке [ − π,π], ее можно периодически продолжить).

  • Если f\in L_2([-\pi,\pi]), то последовательность SN(f,x) сходится к функции f(x) в смысле L2. Кроме того, SN(f,x) являются наилучшим (в смысле расстояния в L2) приближением функции f тригонометрическим многочленом степени не выше N.
  • Сходимость ряда Фурье в заданной точке x0 — локальное свойство, то есть, если функции f и g совпадают в некоторой окрестности x0, то последовательности SN(f,x0) и SN(g,x0) либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают.
  • Если функция f дифференцируема в точке x0, то ее ряд Фурье в этой точке сходится к f(x0). Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции f задаются признаком Дини.
  • Функция, непрерывная в точке x0, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к f(x0). Это следует из того, что для непрерывной в x0 функции f последовательность SN(f,x0) сходится по Чезаро к f(x0).
  • Если функция f разрывна в точке x0, но имеет пределы в этой точке справа и слева f(x_0+0)\neq f(x_0-0), то при некоторых дополнительных условиях SN(f,x0) сходятся к (f(x0 + 0) + f(x0 − 0)) / 2. Подробнее см. модифицированный признак Дини.
  • Теорема Карлесона: если f\in L_2([-\pi,\pi]), то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду. Это верно и если f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1. Однако, существуют функции из L1([ − π,π]), ряд Фурье которых расходится во всех точках.
  • Зафиксируем точку x_0\in(-\pi,\pi). Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством первой категории в пространстве C([ − π,π]). В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

Убывание коэффициентов Фурье и регулярность функции

Существует фундаментальная связь между регулярностью (интегрируемостью, непрерывностью, гладкостью) функции и скоростью убывания ее коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее ее коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса C(k), а экспоненциальное — аналитическим функциям. Примеры такого рода связи:

  • Коэффициенты Фурье любой интегрируемой функции стремятся к нулю (Теорема Римана-Лебега).
  • Если функция f принадлежит классу C(k)([ − π,π]), то есть дифференцируема k раз и ее k-я производная непрерывна, то \hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)
  • Если ряд \sum n^{\alpha}\hat{f}_n сходится абсолютно, то f\in C^{(k)}([-\pi,\pi]) при всех k < α.
  • Если функция принадлежит классу Гельдера с показателем α > 1 / 2, то ряд \sum \hat{f}_n сходится абсолютно (Теорема Бернштейна).
  • Если \hat{f}_n=O(a^n),0&amp;amp;lt;a&amp;amp;lt;1, то функция f является аналитической. Верно и обратное.

См. также

Примечания


Литература

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.

Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Фурье ряд" в других словарях:

  • Фурье ряд — тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке [ π, π] функции f(х) вычисляются по формулам Эйлера Фурье: , , k = 1, 2, ... Частные суммы фурье ряда  важный аппарат приближённого представления функции f(х). Фурье ряды… …   Энциклопедический словарь

  • ФУРЬЕ РЯД — тригонометрический ряд, коэффициент которого для заданной на отрезке ФУРЬЕ Шарль (1772 1837) французский социалист. Подверг критике современный строй цивилизации и разработал проект плана будущего общества строя гармонии , в котором должны… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ФУРЬЕ РЯД — ряд функций f(x) относительно ортонормированной системы функций: φ1(х), φ2(x),..., φк(x),...,(1) заданных на отрезке [а, b], есть ряд где коэф. Фурье .Часто за систему функций (1) берут: п = 1,2,3.., если f(x) периодическая функция …   Геологическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — функции f(х)по ортонормированной на промежутке ( а, b )системе функций ряд коэффициенты к рого определяются по формулам и наз. коэффициентами Фурье функции f. О функции f в общем случае предполагается, что она интегрируема с квадратом на ( а, b) …   Математическая энциклопедия

  • Фурье ряд —         Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид                  где a0, an, bn (n ≥ 1) Фурье коэффициенты. В зависимости от того …   Большая советская энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — почти периодической функции ряд вида где Фуръе показатели, а п Фурье коэффициенты почти периодич. функции f(x). Ряд (*) соответствует любой числовой почти периодич. функции. Поведение Ф. р. существенно зависит от структуры множества показателей… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — по ортогональным многочленам ряд вида где многочлены { Р п (х)} ортонормированы на интервале ( а, b )с весом h(х)(см. Ортогональные многочлены),а коэффициенты { а n} вычисляются но формуле причем функция f(x) входит в класс функций L2=L2[a, b, h… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ РЯД — тригонометрический ряд, коэф. к рого для заданной на отрезке [ ПИ, ПИ] функции f(x) вычисляются по ф лам Эйлера Фурье: Частные суммы Ф. р. важный аппарат приближённого представления функции f(х). Ф. р. получили большое применение в работах Ж.… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • Фурье Жан Батист Жозеф — Фурье (Fourier) Жан Батист Жозеф (21.3.1768, Осер, ≈ 16.5.1830, Париж), французский математик, член Парижской АН (1817). Окончив военную школу в Осере, работал там же преподавателем. В 1796≈98 преподавал в Политехнической школе. ═ Первые труды Ф …   Большая советская энциклопедия

  • РЯД ФУРЬЕ — см. Фурье ряд. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 …   Геологическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Фурье ряд» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»