Ортогональный базис

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Конечномерный случай

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

$( e_i, e_j ) = \delta_{ij}\$

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ($i\ne j$), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

$\ \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e_1} + a_2 \mathbf{e_2} + ... + a_n \mathbf{e_n}$

можно найти так:

$\ a_i = \frac{(\mathbf{a},\mathbf{e_i})}{(\mathbf{e_i},\mathbf{e_i})}$.

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора $\mathbf{a}$ квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

$(\mathbf{a},\mathbf{a}) = \sum_i (\mathbf{a},\mathbf{e_i})^2,$

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов $e_1,e_2,...,e_n,...$ гильбертова пространства $X$ такая, что любой элемент $x\in X$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n ,$

называемого рядом Фурье элемента $x$ по системе $\{e_n\}$.

Часто базис $\{e_n\}$ выбирается так, что $|e_n|=1$, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа $a_n$, называются коэффициентами Фурье элемента $x$ по ортонормированному базису $\{e_n\}$, имеют вид

$a_n=( x,e_n )$.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система $\{e_n\}$ была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел $\{a_n\}$ такая, что $\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty$, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом $\{e_n\}$ ряд $\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$ — сходится по норме к некоторому элементу $x\in X$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству $l_2$ (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

• Стандартный базис $e_1=(1, 0,\ldots,0)^\mathrm{T}, e_2=(0, 1,\ldots, 0)^\mathrm{T}, \ldots e_n=(0, 0,\ldots,1)^\mathrm{T}$ в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

• Множество $\{f_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, n \in \mathbb{Z}\}$ образует ортонормированый базис в L²([-π, π]).

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также

• Ортонормированная система
• Базис
• Ортогонализация
• Процесс Грама ― Шмидта
• Флаг (математика)

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Добавить иллюстрации.