- Площадь многоугольника
-
Пло́щадь фигуры — числовая характеристика фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Содержание
Об определении
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:
- (положительность) площадь неотрицательна;
- (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура F называется квадрируемой, если для любого
существует пара многоугольников P и Q, такие что
и
, где S(P) обозначает площадь P.
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур на которых функционал площади определяется однозначно.
То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).
Площади некоторых фигур
Площадь прямоугольника со сторонами а и b равна произведению их сторон: S = ab.
Площадь произвольного четырехугольника равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними.
Площадь треугольника равна половине произведения основания, умноженного на высоту.
См. также
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников.
Ссылки
- В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.
Wikimedia Foundation. 2010.