Монотонность

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Определения

Пусть дана функция $f:M \subset \R \to \R.$ Тогда

• функция f называется возраста́ющей на M, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)$.

• функция f называется стро́го возраста́ющей на M, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)$.

• функция f называется убыва́ющей на M, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)$.

• функция f называется стро́го убыва́ющей на M, если

$\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)$.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, $f:[a,b] \to \R,$ определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция $f:(a,b) \to \R$ дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную f'(x). Тогда

  f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \ge 0;$

  f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда $\forall x \in (a,b)\; f'(x) \le 0.$

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция $f \in C \bigl( (a,b) \bigr)$ непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке $x\in (a,b)$ производную f'(x). Тогда

  если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) > 0,$ то f строго возрастает на (a,b);

  если $\forall x \in (a,b)\; f'(x) < 0,$ то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть $f\in C\bigl( (a,b) \bigr),$ и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;$
2. $\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.$

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. $\forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;$
2. $\forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.$

Примеры

• Экспонента f(x) = e^x строго возрастает на всей числовой прямой.
• Парабола f(x) = x² строго убывает на $(-\infty,0]$ и строго возрастает на $[0,\infty)$.
• Константа $f(x) \equiv a,\; a\in \mathbb{R}$ одновременно возрастает и убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

См. также

• Монотонная последовательность