Лорана ряд

Лорана ряд

Ряд Лорана — двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (za), то есть ряд вида

\sum_{n\in \Z}a_n(z-a)^n

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

  1. \sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n — правильная часть ряда Лорана и
  2. \sum_{n=-\infty}^{-1}{a_{n}}{(z-a)^n} — главная часть ряда Лорана.

При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части.

Свойства

  • Если внутренность области сходимости ряда Лорана непуста, то она представляет собой круговое кольцо
D= \{z\in\mathbb C|r<|z-a|<R<\infty\}
  • Во всех точках своего кольца сходимости D ряд Лорана сходится абсолютно;
  • Как и для степенных рядов, поведение ряда Лорана в точках граничных окружностей кольца сходимости может быть самым разнообразным;
  • На любом компактном подмножестве K\subset D ряд сходится равномерно;
  • Сумма ряда Лорана в D есть аналитическая функция f(z);
  • Ряд Лорана можно дифференцировать и интегрировать в D почленно;
  • Разложение в ряд Лорана единственно, то есть если суммы двух рядов Лорана совпадают в D, то совпадают и все коэффициенты этих рядов.
  • Коэффициенты an ряда Лорана определяются через его сумму f(z) формулами
a_n=\frac1{2\pi i}\int\limits_\gamma\frac{f(z)\,dz}{(z-a)^{n+1}}
где γ(t) = ρet, t\in [0,2\pi], r < ρ < R — любая окружность с центром a, расположенная внутри кольца сходимости.

Теорема Лорана

Применение ряд Лорана основано главным образом на следующей теореме Лорана:

Любая однозначная аналитическая функция f(z) в кольце D= \{z\in\mathbb C\,|\,r&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\} представима в D сходящимся рядом Лорана.

В частности, в проколотой окрестности

D= \{z\in\mathbb C\,|\,0&amp;lt;|z-a|&amp;lt;R&amp;lt;\infty\}

изолированной особой точки a однозначная аналитическая функция f(z) представима рядом Лорана, который служит основным инструментом исследования её поведения в окрестности изолированной особой точки.

Тип особой точки определяется главной частью ряда Лорана в кольце с центром в этой точке:

Литература

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.

Wikimedia Foundation. 2010.

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»