ЛОРАНА РЯД

ЛОРАНА РЯД

- обобщение степенного ряда по целым неотрицательным степеням разности z-а или по целым неположительным степеням z-а в виде

Ряд (1) понимается как сумма двух рядов:

- правильная часть Л. р. и
- главная часть Л. р. Ряд (1) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся его правильная и главная части. Свойства Л. р.: 1) если область сходимости Л. р. содержит внутренние точки, то она представляет собой круговое кольцо

с центром в точке ; 2) во всех внутренних точках кольца сходимости Dряд (1) сходится абсолютно; 3) как и для степенных рядов, поведение Л. р. в точках граничных окружностей может быть самым разнообразным; 4) на любом компактном множестве ряд (1) сходится равномерно; 5) сумма ряда (1) в Dесть аналитич. функция f(z); 6) ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать в Dпочленно; 7) коэффициенты с k Л. р. определяются через его сумму f(z) формулами

где - любая окружность с центром а, расположенная в D;8) разложение в Л. р. единственно, т. е. если в D, то все коэффициенты их Л. р. по степеням z-асовпадают.

Для случая центра в бесконечно удаленной точке Л. р. принимает вид

причем теперь правильной частью является а главной -

Область сходимости ряда (3) имеет вид

а формулы (2) переходят в формулы

где В остальном все свойства те же, что и в случае конечного центра а.

Применение Л. р. основано главным образом на теореме Лорана (1843): любая однозначная аналитич. функция f(z) в кольце представима в Dсходящимся Л. р. (1). В частности, в проколотой окрестности

изолированной особой точки а однозначного характера аналитич. функция f(z) представима Л. р., к-рый и служит основным инструментом исследования ее поведения в окрестности изолированной особой точки.

Для голоморфных функций f(z) многих комплексных переменных аналогом теоремы Лорана можно считать следующее предложение: всякую функцию f(z), голоморфную в произведении Dколец можно представить в Dв виде сходящегося кратного Л. р.

в к-ром суммирование распространяется на все целочисленные мультииндексы

где - произведение окружностей

Область сходимости ряда (4) логарифмически выпуклая и является относительно полной кратно круговой областью. Однако применение кратных Л. р. (4) ограничено, поскольку при голоморфные функции f(z) не могут иметь изолированных особенностей.

Лит.:[1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 4; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., М., 1976, ч. 1, гл. 2, ч. 2, гл. 1. Е. Д. Соломенцев.



Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ЛОРАНА РЯД" в других словарях:

  • ЛОРАНА РЯД — ряд, представляющий аналитическую функцию в окрестности её изолиров. особой точки. Получил своё назв. по имени П. Лорана (P. Laurent). Если z0 изолиров. особая точка аналитич. ф ции f(z), то в окрестности z0 ф ция f(z) представляется в виде суммы …   Физическая энциклопедия

  • Лорана ряд — Ряд Лорана  двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов:   правильная часть ряда Лорана и   главная часть ряда Лорана. При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда… …   Википедия

  • Лорана ряд —         Ряд вида                  , (*)         то есть ряд, расположенный как по положительным, так и по отрицательным степеням разности z а (где z, а и коэффициенты ряда комплексные числа). Совокупность членов с неотрицательными степенями… …   Большая советская энциклопедия

  • ГАРТОГСА - ЛОРАНА РЯД — ряд где функции, голоморфные в нек рой не зависящей от kобласти Если для всех , то ряд (*) наз. рядом Гартогса. Всякая функция, голоморфная в Гартогса области D вида разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся внутри DГ. Л. р. В полных… …   Математическая энциклопедия

  • Ряд Лорана — Ряд Лорана  двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням , то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов:   положительная часть ряда Лорана (иногда называется правильной) и   отрицательная часть ряда Лорана… …   Википедия

  • Ряд Тейлора — Ряд Тейлора  разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора  его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… …   Википедия

  • Правильная часть ряда Лорана — Ряд Лорана  двусторонне бесконечный степенной ряд по целым степеням (z − a), то есть ряд вида Этот ряд понимается как сумма двух рядов:   правильная часть ряда Лорана и   главная часть ряда Лорана. При этом, ряд Лорана считается сходящимся тогда… …   Википедия

  • Многочлен Лорана — В математике, многочлены или полиномы от одной переменной функции вида где ci фиксированные коэффициенты, а x переменная. Многочлены составляют один из важнейших классов элементарных функций. Изучение полиномиальных уравнений и их решений… …   Википедия

  • ДИРИХЛЕ РЯД — для аналитической почти периодической функции ряд вида представляющий собой все ряды Фурье аналитической регулярной почти периодической в полосе (a, b), , функции f(s)=f(t+it) на конти . нуальной совокупности прямых R(s) = t (см. Почти… …   Математическая энциклопедия

  • ВЫЧЕТ — аналитической функции f(z) одного комплексного переменного в конечной изолированной особой точке аоднозначного характера коэффициент при в разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд).в окрестности точки а, или равный ему интеграл где… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»