- ВЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ
- теоремы, относящиеся к циклу вопросов, посвященных изучению неравенств между нормами одной и той же функции, принадлежащей к разным классам (нормированным пространствам). Обычно речь идет о двух классах
и
, где
есть часть
и при этом выполняется неравенство
для всех
, где С - константа, не зависящая от
- нормы соответственно в
. При указанных условиях говорят, что имеет место вложение
в
или, что
вкладывается в
, и пишут
. Исследования, связанные с В. т., составляют раздел теории функций, но главные направления в них развиваются под влиянием краевых задач математической физики, в частности прямых вариационных методов. В связи с этим в течение последних трех десятилетий создана стройная теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных.
К числу задач, решаемых В. т., относятся, напр., следующие. Пусть известно, что функция f имеет частные производные порядка l, вообще говоря, обобщенные (см. Обобщенная производная), интегрируемые в р-й степени на данной области
n-мерного пространства
. Спрашивается: 1) какое гарантированное число непрерывных производных имеет эта функция на
? 2) если область
имеет достаточно гладкую границу Г, то можно ли в том или ином смысле определить след
функции f в точках
, т. е. предельные значения
, когда
приближается к x, и какими гарантированными дифференциальными свойствами обладает этот след? При этом часто надо знать эти свойства настолько точно, чтобы наличие таковых у функции
, заданной на Г, влекло возможность продолжения
с Г на
так, чтобы продолженная функция имела на
обобщенные производные порядка l, интегрируемые в р-йстепени. Из фактов, приводимых ниже, будет видно, что указанные пределы (понимаемые в смысле сходимости почти всюду) определения следа
функции f и продолжения
могут сопровождаться неравенствами между нормами fна
и Г, к-рые и применяются в теории краевых задач.
Многомерная теория вложений классов дифференцируемых функций возникла в 30-х гг. 20 в. в работах С. Л. Соболева в связи с решением задач математич. физики. Ему принадлежат основные В. т. для классов
( Соболева пространств), играющих важную роль в анализе. Функция
принадлежит
если она определена на
и для нее конечна норма
где
и сумма распространена на всевозможные (обобщенные по Соболеву) частные производные
порядка
.
Основная теорема С. Л. Соболева (с дополнениями В. И. Кондрашова и В. П. Ильина) для случая
:
при условиях
справедливо вложение
где [k]- целая часть k.
При
это означает, что функция
имеет след (см. ниже) на любой координатной гиперплоскости
размерности т,
а
где Сне зависит от f (см. [6], [7]).
Функция f, заданная на
, имеет след на
, где
есть m-мерное (координатное) подпространство точек
с фиксированными
если f можно видоизменить на нек-ром множестве n-мерной меры нуль так, чтобы для видоизмененной функции, к-рая снова обозначается через f, имело место
Если
есть множество функций f, заданных на
, то задача описания свойств следов этих функций на подпространство
наз. проблемой следов для класса
.
Теорема (4) является окончательной в терминах классов
. Дальнейшее ее улучшение возможно лишь путем введения новых классов.
В одномерном случае
, где проблема следов не возникает, теорема (4) принадлежит Г. Харди и Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlewood).
Следующим этапом в развитии этой теории являются теоремы вложения С. М. Никольского для обобщенных гёльдеровых классов (см. Гёльдерово пространство)( Н- классов). Эти классы образуют шкалу с непрерывно меняющимися параметрами, характеризующими гладкость функций. Они анизотропны в том смысле, что принадлежащие к ним функции обладают, вообще говоря, разными дифференциальными свойствами по разным направлениям. Пусть
есть множество точек
, удаленных от границы
больше чем на
, и пусть
- положительный вектор (
;
),
- целое и
.
Функция принадлежит классу
,
, если
и для любого
существует обобщенная частная производная
удовлетворяющая неравенству
где
- вторая разность функции по переменной
с шагом h и М- константа, не зависящая от h. Класс
образует банахово пространство, если ввести норму
где
- наименьшая константа М, при к-рой выполняются неравенства (7). Для
соответствующий (изотропный) класс обозначается через
При целом lкласс
близок к классу Соболева
с точностью до
в том смысле, что
Справедливы теоремы вложения (С. М. Никольский)
где
где
(см. [5]).
Теорема (9) является анизотропным аналогом теоремы (4), но имеет то преимущество, что верхние (векторные) индексы г,
фигурирующих в ней классов могут изменяться непрерывно. Кроме того, она полностью охватывает случаи
. Однако при
она, в отличие от (4), неверна. В одном случае ( п=т=1).при
и
не целых она доказана Г. Хардп и Дж. ЛитлвуДОМ .
Частный случай теоремы (9) при
записан еще раз в виде вложения (10) с верхней стрелкой. Оно гласит: функция
имеет след
на
и при этом
где Сне зависит от f. Но справедливо и обратное утверждение, выражаемое нижней стрелкой, к-рое надо понимать в следующем смысле: каждая определенная на
функция
может быть продолжена на все пространство
так, что полученная функция
(со следом на
, равным
) принадлежит к
и выполняется неравенство (обратное к (11)):
где
не зависит от
.
Взаимно обратные вложения (10) полностью решают проблему следов для H-классов и при этом в терминах H-классов.
Теорема (9) носит транзитивный характер, заключающийся в том, что переход
от первого класса в цепи (12) ко второму, а затем от второго к третьему, где параметры
вычисляются по указанным в (9) формулам, может быть заменен одним переходом от первого класса к третьему при непосредственном вычислении
по тем же формулам.
В дальнейшем (см. далее [14]) была решена проблема следов для W-классов, вообще анизотропных. Это привело к введению нового семейства классов дифференцируемых функций многих переменных
зависящих от векторного параметра rи двух скалярных параметров
удовлетворяющих неравенствам
,
.Во всей полноте это семейство определил О. В. Бесов, изучивший также его основные свойства.
Функция f при надлежит классу
, где
- целый вектор, если для нее имеет смысл конечная норма
Функция fпринадлежит классу
, где
- произвольный, не обязательно целый вектор,
если для нее конечна норма
где числа
и
определены выше.
Естественно считать, что класс
при
совпадает с классом
Обычно пишут еще
вместо
, когда
и
. Для любых указанных
классы
суть банаховы пространства.
Теоремы вложения (9), (10) верпы, если в них заменить Нна В. Имеют место также взаимно обратные вложения
где
- целое,
полностью решающие проблему
следов для W-классов, что не мешает выполняться взаимно обратным вложениям, выраженным полностью на языке В-классов:
Классы
. соответствующие значениям параметров
принято еще обозначать через
При
вложения (14) записываются еще и так
Естественными продолжениями W-классов являются классы, в определении к-рых фигурирует понятие дробной производной по Лиувнллю (см. Дробное интегрирование и дифференцирование).
Употребляя терминологию обобщенных функций, можно задать основной класс
функций так, что построенный над ним класс
обобщенных функций будет обладать следующими свойствами: 1)
при любом конечном
; 2) при любом
", не обязательно целом, имеет смысл операция
где
означают соответственно прямое и обратное Фуръе преобразование
; 3) если l - целое и функция
имеет обобщенную по Соболеву производную
то для нее имеет место равенство (17).
При дробных l на бесконечно дифференцируемых финитных функциях операция (17) совпадает с операцией дробного дифференцирования по Лиувнллю. Естественно называть
при нецелом lдробной производной от f порядка lпо
.
Если теперь задан произвольный вектор
то можно ввести пространство
совпадающее с
при целых
, заменив в (13)
на L.
Если
то положим
Семейство классов
может рассматриваться как естественное расширение семейства
на дробное
, "естественное" потому, что с точки зрения интересующего нас круга идей классы
обладают "всеми достоинствами и недостатками классов
". Если в формуле (4) (где [k]можно заменить на k), или (8) (где lможет быть дробным), или в (14), (16) (где
может быть дробным) заменить Wна L, то они останутся верными. Верной также останется формула (9), если в пей заменить Нна Lдаже при более широком условии
однако в предположении, что
В дальнейшем продолжается применение аппарата обобщенных функций, но теперь уже составляющих пространство
. Для любого действительвого числа р имеет смысл операция (Бесселя - Макдональда):
обладающая свойствами:
- оператор Лапласа.
Изотропный класс
может быть определен еще как совокупность функций f, пред-(лавимых в виде
где функции
пробегают пространство
при этом, с точностью до эквивалентности,
Это определение класса
годится и для отрицательных
, но в этом случае
есть совокупность, вообще говоря,
обобщенных функций . В частности
.
Операция
может служить средством и для определения классов
Именно, будем называть обобщенную функцию
регулярной в смысле
или принадлежащей к
, если найдется такое
, что
Всякую функцию
можно определить как регулярную в смысле
функцию, представимую рядом
слабо сходящимся к
(в смысле
), где
имеет спектр (носитель
) в
, а
при
имеет спектр в
и
и при этом
В частности,
Это определение класса
автоматически распространяется на случай
, и тогда функции f, входящие в эти классы, будут, вообще говоря, обобщенными (
). При этом
.
Существуют и другие эквивалентные определения отрицательных классов
, основанные на принципе интерполяции функциональных пространств. Приведенное определение носит конструктивный характер - каждый заданный параметрами
класс определяется независимо, при этом можно конструктивно определить линейные операции, при помощи к-рых по данной функции
определяется функция
(экспоненциального типа
при
и типа 1 при s=0).
Справедлива теорема вложения:
типа теоремы (4), но с
, верная при любом действительном r для
или для
или для
С другой стороны, при
произвольная функция
, вообще говоря, не имеет следа на
, если не налагать на нее дополнительных условий.
Выше были сформулированы В. т. для классов функций, определенных на всем n-мерном пространстве
(см. [5]). Но для приложений важно иметь подобные теоремы для возможно общпх областей
. В настоящее время выяснена геометрич. структура областей
, для к-рых верны указанные теоремы вложения для W-, В- и H-классов, где надо заменить
соответственно на
. Для изотропных классов
,
область
должна удовлетворять условию конуса или, что равносильно, граница ее должна удовлетворять локально условию Липшица. Для анизотропных же классов
область
должна удовлетворять условию
-рога или изогнутого конуса ( конуса условие). и это условие является в известном смысле необходимым (см. [2]).
Для приложений важна еще проблема о следах на m-мерных многообразиях
.
Для изотропных классов W, Н, В эта проблема решена полностью (см. [2], [16]), если
достаточно много раз дифференцируемо при
в (14), (15) и (16) можно заменить
на
, а в (19), кроме того, можно заменить Я на В. В случае кусочно гладких
этот вопрос тоже в ряде случаев решен до конца ([16], [22]), условия, решающие проблему, выражаются, с одной стороны, указанными выше взаимно обратными вложениями на отдельных гладких кусках
, а с другой- специальными дополнительными условиями на поведение функций соответствующих классов на стыках этих гладких кусков. Существенно продвинута также проблема следов для анизотропных классов ([9], [21] ). Здесь возникают особые затруднения характеристики следа в точках
, касательные плоскости к к-рым параллельны осям координат.
Остановимся еще на одной задаче. Пусть функция
где
означает один из рассмотренных выше классов. Спрашивается, какие она имеет частные смешанные производные
и каковы пх свойства? Положительный ответ на этот вопрос зависит от величины
Именно, если
то существует частная производная
принадлежащая к пространству
при условии, что
. В случае же пространств
это условие можно расширить, считая
(см. [5]).
Приведем еще характерную теорему, к-рую естественно назвать теоремой об ослабленной компактности и к-рая имеет применение в теории прямых методов вариационного исчисления.
Из бесконечного множества
функции f, удовлетворяющих неравенству
где
- заданная константа, а
- один из рассмотренных выше классов, можно выделить последовательность
функций и указать такую функцию
с нормой
что какова бы ни была ограниченная область
ц вектор
(см. [5]). В этой формулировке
может быть заменено на область
, если она имеет достаточно хорошую границу. Выше были рассмотрены только характерные классы функций и связанные с ними теоремы вложения, наиболее часто встречающиеся в приложениях. В современных исследованиях большое внимание [2] уделяется классам более общим, где роль исходных частных производных
играют более или менее произвольные дифференциальные операторы.
Изучаются еще так наз. весовые классы, характерным примером к-рых является класс
, определяемый следующим образом. Пусть
есть расстояние от точки ждо границы Г области
. Функция f принадлежит к
если для нее конечна норма (см. [4], [12])
где
Приведем только один результат. .Пусть
- достаточно гладкая граница тизмерений; тогда
если
Пример. Использование В. т. полностью решает вопрос об условиях на граничную функцию, при к-рых применим Дирихле принцип. Именно, понимая частные производные в обобщенном смысле и считая для простоты, что поверхность Г (граница трехмерной области) ограничена и дважды дифференцируема, задаем на
функцию
. Для нее Дирихле интеграл
и, кроме того, по В. т.
имеет след на Г (факт существования следа у
устанавливался при помощи более грубых В. т.). Обозначив через
класс функций
, имеющих тот же след на Г, что и
можно сформулировать принцип Дирихле следующим образом: минимум
среди функций
достигается для единственной функции и к тому же гармонической на
. Из приведенной В. т. следует, что принцип Дирихле применим тогда и только тогда, когда класс
не пуст, т. е. когда граничная функция
При обосновании принципа Дирихле сначала доказывается существование и единственность функции
, а также тот факт, что иесть обобщенное решение задачи Дирихле, а затем при помощи специального метода последовательно устанавливается, что обобщенное решение принадлежит классам
, где
а
- произвольный замкнутый шар. В частности, из того факта, что
, на основании В. т.
(см. [2] и [5]) при
заключаем, что функцию иможно видоизменить на множестве трехмерной меры нуль так, чтобы полученная функция была дважды непрерывно дифференцируема на
. После этого легко доказывается, что
-гармоническая.
Приведенный пример может быть значительно обобщен на нек-рые функционалы, в к-рые входят частные производные разных порядков, возведенные в степень, вообще не равную 2 (
), и тогда появляется необходимость применения В. т. для более общих классов, вообще говоря, анизотропных.
Лит.:[1] Сб. дифференциальные уравнения с частными производными, М., 1970, с. 38-63; [2] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1974; [3] Буренков В. И., Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных во всем пространстве, в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1965, М., 1966: [4] Никольский С. М., "Успехи матем. наук", 1961, т. 16, в. 5, с. 63-114; [5] его же. Приближение функции многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; [6] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950 [7] его же. Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974: [8] Бесов О. В., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, г. 60, с. 42-81; [9] Бугров Я. С., "Сиб. матем. ж.", 1964, г. 5, № 5, с. 1007-26; [10] Ильин В. П., "Докл. АН СССР", 1954, т. 96, № 5, с. 905-8; [11] Кондратов В. И., там же, 1945, т. 48, с. 563-6; [12] Кудрявцев Л. Д., "Труды Матем. Ин-та АН СССР", 1959, т. 55, с. 1 - 182; [13] Лизоркин П. И., "Докл. АН СССР", 1960, т. 132, № 3, с. 514-17; [14] его же, "Матем. сб.",
1963, т. 60, в. 3, с. 325-53; [15] Никольский С. М., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 244-78; [16] его же, "Матем. сб.", 1953, т. 33, в. 2, с. 261-326; 1957, т. 43, в. 7, с. 127-44; [17] Соболев С. Л., "Докл. АН СССР", 1935, т. 3, JV" 7, с. 291-4; [18] его же, "Матем. сб.", 19.46, т. 1, в. 1, с. 39-72; 1938, т. 4, в. 3, с. 471-97; [19] Слободецкий Л. Н., "Докл. АН СССР", 1958, т. 118, в. 2, с. 243-6; [20] Успенский С. В., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 60, с. 282-303; [21] его же, "Докл. АН СССР", 1965, т. 164, № 4, с. 750-2: [22] Яковлев Г. Н., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 60, с. 325-49; [23] Gagliardo Е., "Rend Semin. matem. in-ta di Padova", 1957, t. 27, p. 284- 305; [24] Hardу G. H., Lilttlewood J.E., "Math. Z.", 1928, Bd 28, №4, S. 612 - 34: [25] Lions J. L., Ma genes E., Problemes aux limites non homogebes et applications, P., 1968, v. 1-2. С. М. Никольский.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.