ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО

(в геометрии и физике) - общий термин для обозначения неравенства 4pV<F² между площадью Vи периметром Fплоской области, для разнообразных его обобщений и для других неравенств между геометрия, характеристиками фигур, множеств, многообразий. К И. н. относят также оценки величин физич. происхождения (моменты инерции, жесткость кручения упругой балки, основная частота мембраны, электростатич. емкость и др.) через геометрич. характеристики. Точное И. н. эквивалентно решению нек-рой экстремальной задачи. И. н. могут связывать как две, так и большее число величин.

О наиболее известном И. н.- классическом, его аналогах в пространствах Минковского М ⁿ, Лобачевского Lⁿ, сферическом Sⁿ и его уточнениях см. статью Изопериметрическое неравенство классическое.

Обширная сводка И. н. между элементами простейших фигур - главным образом многоугольников - имеется в [1]. Такие И. н. наз. геометрическими неравенствами.

Элементарные И. н. между такими параметрами множеств в Rⁿ, как объем V, диаметр D, радиус R наименьшего описанного шара и т. п., см. в [2], [3]. Среди них: неравенство Юнга:

неравенство Гейла:

где l - длина ребра

наименьшего описанного правильного симплекса; неравенство Бибербаха:

неравенство Лумиса - Уитни:

где V_i- k -мерный объем проекции множества на i-ю из l=Сп попарно различных k-мерных координатных плоскостей для декартовых координат. Первые три неравенства допускают обобщения на пространства М ⁿ, Lⁿ, Sⁿ (см. [4], [5]). В неравенстве Бибербаха диаметр может бить заменен средней шириной (см. [5]).

В связи с задачами размещения и покрытия рассматривались И. н., специфичные для многогранников, с привлечением числа или суммы длин ребер и т. п. (см. [6]).

Для выпуклых тел многие И. н. (в том числе классическое И. н. и серия неравенств между интегралами от симметрич. функций главных кривизн) являются частными случаями неравенств между смешанными объемами (см. Смешанных объемов теория, Минковского неравенство).

Использование И. н., как оценок одних параметров фигур через другие, вышло за рамки геометрии. При этом в математич. физике, теории функций комплексного переменного, функциональном анализе, теории приближений функций, вариационном исчислении обогатился сам класс И. н. Заметно усложняются И. н. в римановой геометрии.

В математич. физике И: н. возникли (сначала в виде предположений) в работах А. Сен-Венана (A. Saint-Venant, 1856):

где Р- жесткость кручения призматической упругой балки; Рэлея (Rayleigh, 1877):

где А - основная частота мембраны, j - первый положительный корень бесселевой функции J₀(x);в работах А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1903): где с - электростатич. емкость тела. Vв этих неравенствах, соответственно, площадь сечения балки, площадь мембраны, объем тела. Многочисленные результаты такого рода подытожены в [7] и [8]. Нек-рые оценки для первого собственного числа L^-1 оператора Лапласа на замкнутых римановых многообразиях имеются в [9].

В функциональном анализе в терминах И. н. (связывающих меры и емкости) были даны (см. [10], [11]) условия ограниченности и компактности операторов вложения (см. Вложения теоремы )для пространств Соболева.

Например, оценка

где m.- неотрицательная мера, n>2, справедли ва для всех в том и только в том случае, когда для всех компактов выполняется И. н.:

Здесь - емкость Винера (см. Емкость множества).

И. н. для объема и площади применяются при доказательстве априорных оценок решений линейных и квазилинейных эллиптич. уравнений (см. [12], [26]).

Специфич. И. н. возникают для выпуклых тел пространства Минковского в связи с теорией приближения функций (см. Самопериметр, Поперечник).

В теории конформных и квазиконформных отображений применение И. н. является обычным приемом. Примером конформно-инвариантного И. н. служит приводимое ниже неравенство (4).

И. н., включающие среднюю кривизну подмногообразия, в частности для минимальных поверхностей, играют важную роль при решении Плато задачи.

В римановой геометрии неоднородных пространств обобщения классического И. н. детально изучены только в двумерном случае. Пусть М- односвязное компактное двумерное многообразие с краем и положительная часть w⁺ интегральной кривизны Мменьше, чем 2p.

Тогда (см. [13]):

И. н. (1) справедливо и для более общих, чем римановы, двумерных многообразий ограниченной кривизны. Равенство в (1) достигается на нерегулярном объекте - области, изометричной боковой поверхности прямого кругового конуса с полным углом 2p-w⁺ вокруг вершины. С помощью (1) устанавливаются оценки длины кривой, умещающейся в области, в зависимости от F,w⁺ и собственного поворота ( извивания кривой). В частности, для геодезической длины L

И. н. (1) является частным случаем оценки

где a- любое действительное число, c.- эйлерова характеристика компактной области с краем, w⁺=а К- гауссова кривизна. К И. н. (2) примыкают оценки для площади i-окрестности границы области и для наибольшего удаления точек области от границы (см. [14]). Если поверхность Мявляется гладким подмногообразием в R³, то оценки (1), (2) дополняются И. н., включающими внешние характеристики поверхности. Для замкнутых поверхностей из интегральных тождеств (см. [15]) следует точное И. н. где R - радиус шара в R³, содержащего М. Сходные неравенства (не точные) получены и для поверхностей с краем (см. [16]). В частности, для односвязной седловой поверхности в R" с границей длины F:

Упомянутые неравенства остаются справедливыми и для общих (нерегулярных) поверхностей в R", если вместо w⁺ ввести в рассмотрение внешнюю положительную кривизну - меру в множестве локально опорных плоскостей (см. [16]).

Для n-мерного риманова пространства У И. н., как правило, связаны с односторонними ограничениями на секционную кривизну или кривизну Риччи. Простейшей является оценка объема V(t)шара радиуса tв У" через объем v(t, К )шара того же радиуса в полном односвязном пространстве постоянной кривизны К:

где (n-1) Kесть минимальное значение кривизны Риччи в Vⁿ; если К>0, то предполагается, что (см. [17]). Аналогичное И. н. справедливо для трубчатой t-окрестности р-мерного подмногообразия в V, в таком И. н. (вместо кривизны Риччи) участвуют минимум секционных кривизн Vⁿ и максимум нормальных кривизн подмногообразия (см. [18]).

Если верхняя грань Ксекционных кривизн отрицательна, то объем V замкнутого многообразия оценивается снизу через (см. [19]). Для области Мв полном односвязном У" при этом имеет место линейное И. н.

где Fесть (п-1)-мерная площадь границы М, а также И. н.

точное значение с(п)неизвестно.

В пространствах неотрицательной кривизны для выпуклых областей Мполучен ряд оценок, обобщающих И. н. для выпуклых тел в Rⁿ (см. [20], [21] ). Так,

где r- наибольшее удаление точек Мдо границы. Если в Мнижняя грань секционных кривизн то и левое неравенство уточняется:

Справедлива оценка где Н- интегральная средняя кривизна. Для трехмерного случая верно И. н.:

где х - эйлерова характеристика границы М,a W- интегральная скалярная кривизна М.

В классическом И. н. площадь оценивается сверху. Для замкнутых неодносвязных поверхностей площадь может быть оценена снизу через длину Xкратчайшей негомотопной нулю петли

Точное значение С(c). известно лишь для тора(=Ц 3/2). и проективной плоскости ( = 2/p). Неравенство (4) является следствием И. н. (см. [22]):

для экстремальной длины l_e семейства негомотопных нулю петель.

Вопрос об аналогичных неравенствах для Vⁿ при n>2 обсуждается в [22]. Если М- топологический re-мерный куб с внутренней метрикой g, то его n-объем

где g_i- расстояние в метрике gмежду i-й парой противоположных (п-1)-мерных граней. Подробнее см. [24], [25].

В теории минимальных и родственных им поверхностей получен ряд И. н., к-рые справедливы не только для гладких k-мерных подмногообразий в Rⁿ, но и для более общих k-мерных "пленок": подмногообразий с особенностями, потоков и др. Так, в [26], [27] установлено неравенство

где F- (k-1)-площадь границы, а H - интеграл от модуля средней кривизны hпленки. Если к = 2, то при условии a=2-max|h|diam M>0 выполняется следующее И. н.:

К И. н. (5) по методам доказательств и применениям примыкают оценки снизу для объема V(t)пересечения k-пленки Мс шаром радиуса tс центром Так, для минимальной поверхности М функция t^-kV(t)возрастает при всех t<d(x, дМ). Нек-рые обобщения для минимальных пленок в V(и для пленок при условии

) см. [27], [28]. Лит.:[1] Bottema О., Geometric inequalities, Groningen, 1969; [2] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966; [3] Воnnesen Т., Fenchel W., Theorie der konvexen Korper, В., 1934; [4] Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В., Теорема Хелли и ее применения, пер. с англ., М., 1968; [5] Мельников М. С., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. 4, с. 165-70; [6] Тот Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958; [7] Полиа Г., Сеге Г., Изопериметрические неравенства в математической физике, [пер. с англ.], М., 1962; [8] Payne L. E., "Siam Rev.", 1967, v. 9, № 3, p. 453-88; [9] Веrger M., Ganduсhоn P., Mazet E., Le spectre d'une variete riemannienne, В., 1971; [10] Mазья В. Г., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 33-68; [11] его же, в кн.: Теоремы вложения и их приложения, М., 1970, с. 142-59; [12] его же, "Тр. Моск. матем. об-ва", 1969, т. 20, с. 137-72; [13] Александров А. Д., Стрельцов В. В., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1965, т. 76, с. 67-80; [14] Бураго Ю. Д., "Сиб. матем. ж.", 1973, т. 14, № 3, с. 666-68; [15] Shahin J. К., "Рrос. Amer. Math. Soc", 1968, v. 19, № 3, p. 609-13; [16] Бураго Ю. Д., Неравенства изопериметрического типа в теории поверхностей ограниченной внешней кривизны, Л., 1968; [17] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Дж., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [18] Cheeger I. H., "Amer. J. Math.", 1970, v. 92, №1, p. 61-74; [19] Маргулис Г. А., в кн.: VI Всесоюзная топологическая конференция. Тезисы, Тб., 1972; [20] Декстер Б. В., "Матем. сб.", 1972, т. 88, № 1, с. 61-87; [211 Волков Ю. А., Декстер Б. В., "Матем. сб.", 1970, т. 83, в. 4, с. 616-38; [22] Веrgеr М., "Ann. sci. Ecole norm, super", ser. 4, 1972, t. 5, № 1, p. 1-44; [23] его же, там же, 1972, т. 5, № 2, р. 241-60; [24] Derrick W. R., "J. Math, and Mech.", 1968, v. 18, № 5, p. 453-72; [25] A1mgren F., "Proc. Amer. Math. Soc", 1964, v. 15, M 2, p. 285; [26] Michal J., Simon L., "Communs Pure and Appl. Math.", 1973, v. 26, № 3, p. 361 - 79; [27] Allard W., "Ann. Math.", 1972, v. 9-5, p. 417-91; [28] Фоменко А. Т., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, № 5, с. 1049-79.

Ю. Д. Бураго.