МНОЖЕСТВО

- набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, наз. его элементами, обладающих общим для всех их характеристич. свойством. "Множество есть многое, мыслимое нами как единое" (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логич. определением понятия М., а всего лишь пояснением (ибо определить понятие - значит найти такое родовое понятие, в к-рое данное понятие входит в качестве вида, но М.- это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики). При этом можно либо дать перечень элементов М.- его перечисление, либо дать правило для определения того, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому М.- его описание (впрочем, первое приемлемо, лишь когда речь идет о конечных М.).

Для содержательного развития "наивной" множеств теории такого пояснения вполне достаточно, ибо для математич. теории существенны определенные соотношения между элементами М. (или между самими М.), а не их природа. При описании же тех М., к-рые могут быть элементами других М., во избежание т. н. антиномий, вводится, напр., термин "класс". И тогда, говоря более формально, теория М. имеет дело с объектами, наз. классами, для к-рых определено отношение принадлежности, а само М. определяется как класс, являющийся элементом нек-рого класса.

В последнее время все более вырисовывается объединяющая роль теории категорий (и, в частности, понятия универсального множества), построение к-рой основывается на аксиоматической теории множеств, позволяющей рассматривать, напр., такие "большие" совокупности, как категория всех множеств, групп, топологич. пространств и т. д.

Лит.:[1] Учение о множествах Георга Кантора, СПБ, 1914 (Новые идеи в математике. Сб. № 6); [2] Шиханович Ю. А., Введение в современную математику, М., 1965; [3] Кондаков Н. И., Логический словарь-справочник, 2 изд., М., 1975; [4] Бурбаки. <Н., Теория множеств, пер. с франц.. М., 1965; [5] Новиков П. С, Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973; [6] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [7] Шенфилд Д ж., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975.

М. И. Войцеховский.