- ОБЛАСТЬ
-непустое связное открытое множество точек топологич. пространства
. Замыкание
области Dная. замкнутой областью; замкнутое множество
наз. границей О. D. Точки
наз. также внутренними точками О. D; точки
наз. граничными точками для О. D;. точки дополнения
- внешними точками для О. D.
Любые две точки О. Dдействительного евклидова пространства
(либо комплексного пространства
либо римановой поверхности или римановой области), можно соединить путем (или дугой), целиком расположенным в D, а в случае
или
- даже ломаной линией с конечным числом звеньев. Конечные и бесконечные открытые интервалы - единственные О. на числовой прямой
; их границы состоят не более чем из двух точек. Область Dна плоскости наз. односвязной, если любой замкнутый путь в Dможно непрерывно деформировать в точку, оставаясь все время вО . D. Вообще говоря, граница односвязной О. открытой плоскости
или
может состоять из любого числа ксвязных компонент,
. Если же Dрассматривается как О. компактной расширенной плоскости
или
и число ккомпонент границы конечно, то кназ. порядком связности плоской О. D;при
О. Dназ. мвогосвязной. Иначе говоря, порядок связности кна единицу больше минимального числа разрезов, попарно соединяющих компоненты границы, к-рые нужно провести, чтобы превратить О. D в односвязную. При k=2 О. наз. двусвязной, при k=3 - трехсвязной и т. <д.; при
имеем конечносвязные О., при
- бесконечносвязные О. Порядок связности плоской О. характеризует ее топологический тип. Топологич. типы О. пространств
нельзя характеризовать каким-либо одним числом.
Даже в случае односвязной плоской О. метрич. строение ее границы
может быть очень сложным (см. Граничные элементы). В частности, точки границы делятся на достижимые точки
для к-рых существует путь
, соединяющий
в Dс любой точкой
, и недостижимые точки, для к-рых такого пути не существует. Множество достижимых точек границы Fr Dлюбой плоской односвязной О. всюду плотно на Fr D.
Область Dпространства
или
наз. ограниченной, или конечной, если
в противном случае О. Dназ неограниченной, или бесконечной. Замкнутая жорданова плоская кривая разделяет плоскость
или
на две жордановы О.: конечную
и бесконечную
. Все граничные точки жордановых О. достижимы.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.