ПОВЕРХНОСТЬ

- одно из основных понятий геометрии. Определения П. в различных областях геометрии существенно отличаются друг от друга.

В элементарной геометрии рассматриваются плоскости, многогранные П., а также нек-рые кривые П. (напр., сфера). Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как множество точек или линий. Общее понятие П. в элементарной геометрии лишь поясняется, а не определяется: говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии и т. п.

В аналитич. и алгебраич. геометрии П. рассматривается как множество точек, координаты к-рых удовлетворяют определенному виду уравнений (см., напр., Поверхность второго порядка, Алгебраическая поверхность).

В 3-мерном евклидовом пространстве Е ³ П. определяется с помощью понятия простой П. как гомеоморфизм квадрата в E³. П. понимается как связное множество простых П. (напр., сфера является объединением двух полусфер - простых П.).

Обычно задание П. в E³ осуществляется вектор-функцией

где а

- функции параметров ии v, удовлетворяющие нек-рым условиям регулярности, напр. условию

(см. также Дифференциальная геометрия, Поверхностей теория, Риманова геометрия).

С точки зрения топологии П.- двумерное многообразие, Л. А. Сидоров.

КЗ-ПОВЕРХНОСТЬ - гладкая проективная алгебраич. поверхность X, у к-рой канонич. класс тривиален и размерность dimH¹ (X, W¹) пространства одномерных дифференциальных форм на Xравна 0. Для КЗ-П. известны значения следующих инвариантов: геометрич. род p_g = dimH²(X, W²) = l, эйлерова характеристика структурного пучка c() = 2, этальные или (над полем комплексных чисел) топологич. числа Бетти b₀=b₄=1, b₁=b₃=0, b₂=22, характеристика Эйлера - Пуанкаре е(Х) = 24. Формула Римана - Роха для одномерного обратимого пучка Dна КЗ-П. приобретает вид

где (D)² - индекс самопересечения класса дивизоров, соответствующего пучку D(см. Римана - Роха теорема). Если пучку Dсоответствует эффективный неприводимый дивизор, то H¹(X, D) = 0.

Формула для вычисления арифметич. рода неприводимой кривой Сна Xтоже имеет простой вид:

Как следствие получается, что , а равенство (C)²=-2 будет выполнено только для гладких рациональных кривых. Отсюда также следует, что (D)² - четное число для любого дивизора D. Пусть N(X) - группа Нерона - Севери поверхности X, т. е. группа классов дивизоров на Xотносительно алгебраич. эквивалентности. Тогда N(X) - свободная абелева группа ранга r, где , если характеристика основного поля kравна 0, и или r=22, если char k>0. Индекс пересечения определяет на N(X).целозначную билинейную форму, у к-рой квадрат любого элемента четен. Поверхности с r=20 (при char k=0).наз. сингулярными, а с r=22 (при char k>0) - с уперсингулярными.

Еще один численный инвариант поверхности X - это минимальный возможный индекс p самопересечения эффективного очень обильного дивизора на X, т. е. минимальная возможная степень поляризации на X. Если p=2n-2, то поверхность Xможно вложить в n-мернос проективное пространство и нельзя вложить в проективное пространство меньшей размерности.

Важный способ изучения КЗ-П.- представление их в виде семейства (пучка) эллиптич. кривых. Поверхность Xпредставлена в виде семейства эллиптич. кривых, если задано регулярное отображение t: X Р ¹, все слои к-рого, кроме конечного их числа,- неособые эллиптич. кривые. Поверхность Xможет быть представлена в таком виде тогда и только тогда, когда в группе N(X).есть ненулевой элемент с индексом самопересечения 0, причем всевозможные такие представления соответствуют классам эффективных дивизоров с индексом самопересечения 0. Если поверхность, представленная в виде семейства эллиптич. кривых, является КЗ-П., то у нее нет кратных слоев. Построенное по такому семейству якобиево эллиптич. семейство снова будет КЗ-П.

Важный класс КЗ-П.- Куммера поверхности. Куммерова поверхность - это неособая модель фактора двумерного абелева многообразия Апо подгруппе автоморфизмов, порожденной отображением замены знака. В частности, куммеровой будет поверхность, задаваемая уравнением в P³. Любая гладкая поверхность 4-й степени в Р ³ является КЗ-П. Поверхностями КЗ будут гладкие поверхности, получаемые как пересечение трех гиперповерхностей 2-й степени (квадрик) в Р ⁵ и как двойное накрытие плоскости с кривой ветвления 6-й степени.

Все КЗ-П. над полем комплексных чисел диффео-морфны, их многообразие модулей связно и имеет размерность 19. Строение этого многообразия модулей и автоморфизмы КЗ-П. изучают при помощи отображения периодов. Для КЗ-П. над полем комплексных чисел отображение периодов биективно (теорема типа Торелли) (см. [2]).

Если задано одномерное семейство КЗ-П. (над ) с одним вырожденным слоем, то после накрытия базы его можно перестроить, не меняя вне вырожденного слоя, так что этот вырожденный слой либо станет невырожденным, либо будет одного из двух типов: (а) компоненты вырожденного слоя и кривые пересечений рациональны, двойственный полиэдр вырожденного слоя имеет топологич. тип двумерной сферы, (б) компоненты вырожденного слоя составляют цепочку, непустое пересечение имеют только соседние поверхности, крайние две поверхности рациональны, средние - эллиптические линейчатые, кривые пересечения - эллиптические. Типы (а) или (б).возникают, когда монодромия семейства нетривиальна (см. [2]).

КЗ-П. над алгебраически замкнутым полем положительной характеристики допускают подъем в характеристику нуль, модули их кристаллич. когомологий не имеют кручения, а ранги этих модулей совпадают с размерностями соответствующих этальных когомологий. Для суперингулярных поверхностей построен аналог отображения периодов, и для него тоже доказана теорема типа Торелли. Многообразие периодов здесь неприводимо, полно, имеет размерность 9 и унирационально. Описаны все возможные для суперсингулярных поверхностей формы пересечений на N(X), их 9 для каждого значения характеристики основного поля (см. [4]).

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75); [2] Куликов В. С., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1977, т. 41, № 5, с. 1008-42; [3] Р у д а к о в А. Н., Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1981, т. 45, № 3, с. 646-61; [4] Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 18, М., 1981. А. Н. Рудаков.