КОЛМОГОРОВА НЕРАВЕНСТВО

- 1) К. н. в теории приближений - мультипликативное неравенство между нормами в пространствах L_S(J)функций и их производных на действительной оси (или полуоси):

I

где

а С не зависит от х. Впервые такие неравенства изучали Г. Харди (G. Hardy, 1912), Дж. Литлвуд (J. Littlewood, 1912), Э. Ландау (Е. Landau, 1913), Ж. Адамар (J. Hadamard, 1914). А. Н. Колмогоров [1] нашел наименьшую константу Сдля наиболее важного случая и любых k, п.

К. н. связаны с задачей наилучшего численного дифференцирования и устойчивого вычисления (неограниченного) оператора D^k k -кратного дифференцирования. Именно, модуль непрерывности

оператора D^k на классе выражается формулой w(d)= w(1)8, т. е. имеет место К. н. с константой С=w(1).

К. н.- частный случай неравенств, связанных с вложением классов дифференцируемых функций (см. Вложения теоремы).

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Ученые зап. Моск. ун-га, математика", 1939, в. 30, кн. 3, с. 3-16; [2] Стечкин С. Б., "Матем. заметки", 1967, т. 1, в. 2, с. 137-48; [3] Тайков Л. В., "Матем. заметки", 1968, т. 4, в. 2, с. 233- 238; [4] Арестов В. B.,"Acta Sei. Math.", 1972, v. 33, p. 243-67.

Ю. Н. Субботин.

2) К. н. в теории вероятностей - неравенство для максимума сумм независимых случайных величин - обобщение классического Чебышева неравенства. Пусть Х _1} Х ₂,..., Х _п, ...- независимые случайные величины с конечными математич. ожиданиями и дисперсиями Тогда для любого е>0

и если величины ограничены (| Х _i|<с с вероятностью 1), то

К. н. установлено А. Н. Колмогоровым [1]. К. н. замечательно как доказательством - способ рассуждений был новым в теории вероятностей, так и самим результатом - оценка для максимума сумм такова же, что и для последней суммы в неравенстве Чебышева.

При доказательстве К. н. существенно используются вытекающие из взаимной независимости X_k свойства условных математич. ожиданий функций от сумм S_k+p при условии, что Х ₁, . .., X_k фиксированы.

К. н. допускает многочисленные обобщения, из которых можно отметить следующие:

1) К. н. остается справедливым, если условие взаимной независимости величин Х _п заменить условием, что {X_n} есть абсолютно беспристрастная последовательность, т. е. что последовательность сумм S_n= образует мартингал.

2) Если -выпуклая монотонная функция, Еg(|S_n|)<беск., то

3) Если Х _k, k=1,. . ., п, симметричны относительно начала координат, то

см. Леей неравенство.

4) Для произвольных независимых случайных величин Х ₁, Х ₂,. . ., Х _n, ...

если только числа d>0 и 0<р<1 выбраны так, что при всех т,

Во всех вариантах К. н. можно увидеть следующее свойство сумм независимых величин - "размах" максимальной суммы имеет тот же порядок, что и "размах" последней суммы.

Как неравенство Чебышева применяется при выводе больших чисел закона, так и К. н. применяется при доказательстве больших чисел усиленного закона (критерий Колмогорова сходимости S_n/n->Q почти всюду). На использовании К. н. основано доказательство теорем о сходимости рядов из случайных величин.

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Math. Ann.", 1928, Bd 99, S. 309 - 19; 1929, Bd 102, S. 484-88; [2] eго же. Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [3] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ., М., 1962.

А. В. Прохоров.