КЛАСС

- 1) Термин, употребляемый в математике в основном как синоним термина "множество" для обозначения произвольных совокупностей объектов, обладающих каким-либо определенным свойством или признаком (напр., в алгебре-классы эквивалентности относительно данного отношения эквивалентности). Иногда К. предпочитают наз. совокупности, элементами которых являются множества (напр., в рекурсивной теории - перечислимые классы). В некоторых случаях под влиянием аксиоматической теории множеств (см. п. 2) термин "К." применяется для того, чтобы подчеркнуть, что данная совокупность оказывается собственно К., а не множеством в узком смысле (напр., в алгебре - примитивные классы универсальных алгебр, называемые также многообразиями). Теоретико-множественные операции над К. определяются так же, как и над множествами.

2) К. в аксиоматической теории множеств (точнее, в аксиоматич. системе Гёделя - Бернайса) - один из видов исходных объектов, рассматриваемых в этих системах, причем различие между множествами и К. состоит в том, что элементами К. и множеств, рассматриваемых в данной теории, могут быть только множества, но не классы. Идея введения так понимаемых К. в теорию множеств принадлежит

Дж. Нейману (J. Neumann) и основывается на его замечании, что известные противоречия канторовской теории множеств возникают не из-за допущения образования очень больших множеств, а из-за того, что таким множествам разрешается быть элементами других множеств. Кроме указанного ограничения, в названных аксиоматич. системах допускаются все обычные теоретико-множественные операции над К., приводящие к К., а не к множествам; к тому же для всякого в нек-ром смысле допустимого предиката, определенного на множествах, существует К., состоящий в точности из множеств, удовлетворяющих рассматриваемому предикату. Доказано, что непротиворечивость каждой из систем Гёделя - Бернайса и Цермело - Френкеля следует из непротиворечивости другой (чем подтверждается точка зрения Дж. Неймана). См. также Аксиоматическая теория множеств.

Лит.:[1] Коэн Пол Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [2] Френкель А.-А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966.

В. А. Душский.

3) К. риманова пространства V^l- число ртакое, что V^l может быть локально изометрически вложено в (l+р) -мерное евклидово пространство Е ^l+p и не может быть вложено в евклидово пространство меньшего числа измерений. От вложения требуется достаточно высокая регулярность (т. к. рнманово пространство V^l допускает локальное изометрическое вложение в виде С ¹ -гладкой гиперповерхности в Е ^l+1 (теорема Нэша)); класс аналитич. риманова пространства V^l не превосходит l(l+1)12 (теорема Жане - Картана).

К. риманова пространства равен нулю в том и только том случае, если тензор кривизны многообразия V^l тождественно равен нулю. Метрики постоянной положительной кривизны имеют К. 1 и реализуются в виде гиперсфер евклидова пространства. К. Z-мерного пространства постоянной отрицательной кривизны равен l-1 (теорема Картана). К. риманова многообразия V¹ строго отрицательной двумерной секционной кривизны не меньше l-1 (см. [3]). Если риманово многообразие V^l имеет отрицательную k-мерную секционную кривизну, где k - четно, то К. Найден алгебраич. критерий [4], позволяющий установить, будет ли К. данного многообразия равен 1, основанный на том факте, что для метрик К. 1 при нек-рых дополнительных условиях уравнения Петерсона - Кодацци являются следствием, уравнений Гаусса.

Если риманово многообразие V^l является метрич. произведением римановых многообразий

причем V^li- пространства К. 1, то V^l есть пространство К. р = k (см. [5]). Если многообразия V^li имеют постоянную отрицательную секционную кривизну, то К. их метрич. произведения равен l-k (см. [5]).

К. двумерных римановых многообразий знакопостоянной кривизны равен 1. Вопрос остается открытым (1978) в случае метрики знакопеременной кривизны. Построен [6] пример двумерного риманова многообразия класса С ^2,1, не допускающего локально изометричного погружения класса С ² в Е ³. Однако любая компактная часть полной метрики на плоскости изометрично погружается в Е ⁴ (причем, если метрика имела регулярность С ^3a, то поверхность принадлежит классу С ^2a), т. е. К. не больше двух [7].

Понятие К. погружения вводится и для псевдориманова пространства. Пусть Vⁿ(p, q)- псевдориманово многообразие, метрический тензор которого имеет рположительных и q отрицательных собственных значений, p+q=n,a Eⁿ(p, q)- псевдоевклидово пространство с метрикой

Пусть k₀- наименьшее неотрицательное целое число такое, что Vⁿ(p, q )допускает погружение в пространство с Е ^п+k0( р, q+k₀). Для каждого киз определяется k-й К. погружения многообразия Vⁿ (р, q)как такое наименьшее число N_k, что Vⁿ(p, q )допускает погружение в Eⁿ + ^Nk(p + a_k, q+k), где a_k=N_k-k. К. погружения многообразия Vⁿ(p, q )определяется как

Любое псевдориманово многообразие Vⁿ(p, q )с аналитич. метрикой допускает аналитич. и изометрич. погружение в E^m(r, s), где m=n(n+l)/2, a r, s- любые заданные целые числа, удовлетворяющие условию т. е. для всех к[8]. Если тензор Риччи для V"(p, q )равен нулю, то N_k неравно 1.

Если V"(p, q )имеет постоянную кривизну, то его К. равен 1, т. е. существует пространство Eⁿ⁺¹(r, s )с такое, что Vⁿ(p, q )локально изометрично части гиперсферы в Eⁿ⁺¹(r, s). Для пространств постоянной отрицательной кривизны N₀=n-1, тогда как N=1 (см. [9]).

Лит.:[1] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с нем., М., 1948; [2] Moor J., "Pacif. J. Math.", 1972, V. 40, № 1, p. 157-66; [3] Борисенко А. А., "Укр. геометр, сб.", 1973, в. 13, с. 15-18; [4] Розенсон Н. А., "Изв. АН СССР. Сер. Матем.", 1941, т. 5, с. 325-52; 1943. т. 7, с. 253-84; [5] Moor J., "J. Diff. Geometry", 1971, v. 5, №1-2, p. 159-69; M Погорело" А. В., "Докл. АН СССР", 1971, т. 198, М1, с. 42-43; [7] Позняк Э. Г., "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, № 4, с. 47-76; [8] Фридман А., в кн.: Гравитация и топология, пер. с англ., М., 1966, с. 182-88; [9] Борисе и ко А. А., "Укр. геометр, сб.", 1976, в. 19, с. 11 -18.

А. А. Бористко.