ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

система бесконечного порядка - бесконечная совокупность дифференциальных уравнений

содержащая бесконечное множество неизвестных функций x_k(t), k=1,2, . . ., и их производные. Решением такой системы наз. множество функций {x_k(t)}, обращающих все уравнения системы в тождества.

Система (1) наз. счетной, в отличие от несчетной системы

где а пробегает нек-рое несчетное множество значений. Система вида (2) содержит в себе несчетное множество функций {x_a(t)}, подлежащих определению, и их производные. Рассматриваются также Д. у., содержащие бесконечное множество неизвестных функций двух и более аргументов и их частные производные.

Начало развитию теории систем Д. у. вида (1) положила работа А. Н. Тихонова [1]. Основным ее результатом является доказательство теоремы существования решения системы (1) в предположении, что ее правые части определены при произвольных значениях х ₁, х ₂, . . .(), непрерывны по отношению к x₁, х ₂,... при фиксированном значении t, измеримы по t при фиксированных х ₁, х ₂,... и ограничены некоторыми суммируемыми на сегменте [t₀, t₀+a²]. функциями M_i(t), i=1, 2, ... При дополнительных предположениях о выполнении обобщенных условий Липшица

и о сходимости и равномерной ограниченности рядов

доказана теорема единственности решения x_i(t), i=1, 2, . . ., системы (1) при заданных начальных условиях такого, что ряд сходится.

Дальнейшее развитие теория счетных систем получила в направлении исследований условий ограниченности решений (см. [2]), аналитической зависимости от параметра, устойчивости по Ляпунову и других свойств решений (см. [2]). Особенно глубоко изучены линейные и квазилинейные счетные системы дифференциальных уравнений.

К изучению систем бесконечного порядка плодотворно применяются операторные методы. Так, например, вместо системы (1) рассматривается операторное уравнение

где x(t)- бесконечномерный вектор нек-рого банахова пространства В, f(t, x)- бесконечномерная вектор-функция со значениями в том же пространстве, производная рассматривается в смысле Фреше. В частности, для уравнения (3) были получены следующие результаты (см. [3]).

Если f(t, x)- ограниченный оператор, то из Выполнения локальной теоремы существования и отрицательности генерального показателя (см. [3]) следует неограниченная продолжимость решений с достаточно близкими к нулю начальными значениями.

Если (где А- бесконечномерная постоянная матрица) - ограниченный оператор, то в гильбертовом пространстве ограниченность всех решений при имеет место тогда и только тогда, когда оператор Аподобен косоэрмитову. В этом же случае найдено явное выражение решения задачи Коши с начальными условиями x(t₀)=x₀ в виде

где е ^Аt- операторная экспонента. Если

где Аимеет прежнее значение, a f(t)- непрерывная T-периодическая вектор-функция, то существует единственное периодическое решение, когда спектр s(А)оператора Ане содержит точек мнимой оси 2kpi/Т, k=0,1, 2, ... Для случая

найдены условия устойчивости по Ляпунову в нуле в виде требования

при достаточно малом q>0 и расположении спектра оператора Ав левой открытой полуплоскости.

Лит.:[1] Тихонов А. Н., "Матем. сб.", 1934, т. 41, в. 4, с. 551-60; [2] Валеев К. Г., Жаутыков О. А., Бесконечные системы дифференциальных уравнений, А.-А., 1974; [3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, М., 1970.

И. П. Макаров.