ВЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ

- теоремы, относящиеся к циклу вопросов, посвященных изучению неравенств между нормами одной и той же функции, принадлежащей к разным классам (нормированным пространствам). Обычно речь идет о двух классах и , где есть часть и при этом выполняется неравенство

для всех , где С - константа, не зависящая от - нормы соответственно в . При указанных условиях говорят, что имеет место вложение в или, что вкладывается в , и пишут . Исследования, связанные с В. т., составляют раздел теории функций, но главные направления в них развиваются под влиянием краевых задач математической физики, в частности прямых вариационных методов. В связи с этим в течение последних трех десятилетий создана стройная теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных.

К числу задач, решаемых В. т., относятся, напр., следующие. Пусть известно, что функция f имеет частные производные порядка l, вообще говоря, обобщенные (см. Обобщенная производная), интегрируемые в р-й степени на данной области n-мерного пространства . Спрашивается: 1) какое гарантированное число непрерывных производных имеет эта функция на ? 2) если область имеет достаточно гладкую границу Г, то можно ли в том или ином смысле определить след функции f в точках , т. е. предельные значения , когда приближается к x, и какими гарантированными дифференциальными свойствами обладает этот след? При этом часто надо знать эти свойства настолько точно, чтобы наличие таковых у функции , заданной на Г, влекло возможность продолжения с Г на так, чтобы продолженная функция имела на обобщенные производные порядка l, интегрируемые в р-йстепени. Из фактов, приводимых ниже, будет видно, что указанные пределы (понимаемые в смысле сходимости почти всюду) определения следа функции f и продолжения могут сопровождаться неравенствами между нормами fна и Г, к-рые и применяются в теории краевых задач.

Многомерная теория вложений классов дифференцируемых функций возникла в 30-х гг. 20 в. в работах С. Л. Соболева в связи с решением задач математич. физики. Ему принадлежат основные В. т. для классов ( Соболева пространств), играющих важную роль в анализе. Функция принадлежит если она определена на и для нее конечна норма

где

и сумма распространена на всевозможные (обобщенные по Соболеву) частные производные

порядка .

Основная теорема С. Л. Соболева (с дополнениями В. И. Кондрашова и В. П. Ильина) для случая :

при условиях

справедливо вложение

где [k]- целая часть k.

При это означает, что функция имеет след (см. ниже) на любой координатной гиперплоскости размерности т,

а

где Сне зависит от f (см. [6], [7]).

Функция f, заданная на , имеет след на , где есть m-мерное (координатное) подпространство точек с фиксированными если f можно видоизменить на нек-ром множестве n-мерной меры нуль так, чтобы для видоизмененной функции, к-рая снова обозначается через f, имело место

Если есть множество функций f, заданных на , то задача описания свойств следов этих функций на подпространство наз. проблемой следов для класса .

Теорема (4) является окончательной в терминах классов . Дальнейшее ее улучшение возможно лишь путем введения новых классов.

В одномерном случае , где проблема следов не возникает, теорема (4) принадлежит Г. Харди и Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlewood).

Следующим этапом в развитии этой теории являются теоремы вложения С. М. Никольского для обобщенных гёльдеровых классов (см. Гёльдерово пространство)( Н- классов). Эти классы образуют шкалу с непрерывно меняющимися параметрами, характеризующими гладкость функций. Они анизотропны в том смысле, что принадлежащие к ним функции обладают, вообще говоря, разными дифференциальными свойствами по разным направлениям. Пусть есть множество точек , удаленных от границы больше чем на , и пусть - положительный вектор (; ), - целое и .

Функция принадлежит классу , , если и для любого существует обобщенная частная производная

удовлетворяющая неравенству

где - вторая разность функции по переменной с шагом h и М- константа, не зависящая от h. Класс образует банахово пространство, если ввести норму

где - наименьшая константа М, при к-рой выполняются неравенства (7). Для соответствующий (изотропный) класс обозначается через При целом lкласс близок к классу Соболева с точностью до в том смысле, что

Справедливы теоремы вложения (С. М. Никольский)

где

где

(см. [5]).

Теорема (9) является анизотропным аналогом теоремы (4), но имеет то преимущество, что верхние (векторные) индексы г, фигурирующих в ней классов могут изменяться непрерывно. Кроме того, она полностью охватывает случаи . Однако при она, в отличие от (4), неверна. В одном случае ( п=т=1).при и не целых она доказана Г. Хардп и Дж. ЛитлвуДОМ .

Частный случай теоремы (9) при записан еще раз в виде вложения (10) с верхней стрелкой. Оно гласит: функция имеет след на и при этом

где Сне зависит от f. Но справедливо и обратное утверждение, выражаемое нижней стрелкой, к-рое надо понимать в следующем смысле: каждая определенная на функция может быть продолжена на все пространство так, что полученная функция (со следом на , равным ) принадлежит к и выполняется неравенство (обратное к (11)):

где не зависит от .

Взаимно обратные вложения (10) полностью решают проблему следов для H-классов и при этом в терминах H-классов.

Теорема (9) носит транзитивный характер, заключающийся в том, что переход

от первого класса в цепи (12) ко второму, а затем от второго к третьему, где параметры вычисляются по указанным в (9) формулам, может быть заменен одним переходом от первого класса к третьему при непосредственном вычислении по тем же формулам.

В дальнейшем (см. далее [14]) была решена проблема следов для W-классов, вообще анизотропных. Это привело к введению нового семейства классов дифференцируемых функций многих переменных зависящих от векторного параметра rи двух скалярных параметров удовлетворяющих неравенствам , .Во всей полноте это семейство определил О. В. Бесов, изучивший также его основные свойства.

Функция f при надлежит классу , где - целый вектор, если для нее имеет смысл конечная норма

Функция fпринадлежит классу , где - произвольный, не обязательно целый вектор, если для нее конечна норма

где числа и определены выше.

Естественно считать, что класс при совпадает с классом Обычно пишут еще вместо , когда и . Для любых указанных классы суть банаховы пространства.

Теоремы вложения (9), (10) верпы, если в них заменить Нна В. Имеют место также взаимно обратные вложения

где - целое, полностью решающие проблему следов для W-классов, что не мешает выполняться взаимно обратным вложениям, выраженным полностью на языке В-классов:

Классы . соответствующие значениям параметров

принято еще обозначать через При вложения (14) записываются еще и так

Естественными продолжениями W-классов являются классы, в определении к-рых фигурирует понятие дробной производной по Лиувнллю (см. Дробное интегрирование и дифференцирование).

Употребляя терминологию обобщенных функций, можно задать основной класс функций так, что построенный над ним класс обобщенных функций будет обладать следующими свойствами: 1) при любом конечном ; 2) при любом ", не обязательно целом, имеет смысл операция

где означают соответственно прямое и обратное Фуръе преобразование; 3) если l - целое и функция имеет обобщенную по Соболеву производную то для нее имеет место равенство (17).

При дробных l на бесконечно дифференцируемых финитных функциях операция (17) совпадает с операцией дробного дифференцирования по Лиувнллю. Естественно называть при нецелом lдробной производной от f порядка lпо .

Если теперь задан произвольный вектор то можно ввести пространство совпадающее с при целых , заменив в (13) на L.

Если то положим Семейство классов может рассматриваться как естественное расширение семейства на дробное , "естественное" потому, что с точки зрения интересующего нас круга идей классы обладают "всеми достоинствами и недостатками классов ". Если в формуле (4) (где [k]можно заменить на k), или (8) (где lможет быть дробным), или в (14), (16) (где может быть дробным) заменить Wна L, то они останутся верными. Верной также останется формула (9), если в пей заменить Нна Lдаже при более широком условии однако в предположении, что

В дальнейшем продолжается применение аппарата обобщенных функций, но теперь уже составляющих пространство . Для любого действительвого числа р имеет смысл операция (Бесселя - Макдональда):

обладающая свойствами: - оператор Лапласа.

Изотропный класс может быть определен еще как совокупность функций f, пред-(лавимых в виде где функции пробегают пространство при этом, с точностью до эквивалентности,

Это определение класса годится и для отрицательных , но в этом случае есть совокупность, вообще говоря, обобщенных функций . В частности .

Операция может служить средством и для определения классов Именно, будем называть обобщенную функцию регулярной в смысле или принадлежащей к , если найдется такое , что Всякую функцию можно определить как регулярную в смысле функцию, представимую рядом

слабо сходящимся к (в смысле ), где имеет спектр (носитель ) в , а при имеет спектр в и

и при этом

В частности,

Это определение класса автоматически распространяется на случай , и тогда функции f, входящие в эти классы, будут, вообще говоря, обобщенными (). При этом .

Существуют и другие эквивалентные определения отрицательных классов , основанные на принципе интерполяции функциональных пространств. Приведенное определение носит конструктивный характер - каждый заданный параметрами класс определяется независимо, при этом можно конструктивно определить линейные операции, при помощи к-рых по данной функции определяется функция (экспоненциального типа при и типа 1 при s=0).

Справедлива теорема вложения:

типа теоремы (4), но с , верная при любом действительном r для или для или для

С другой стороны, при произвольная функция , вообще говоря, не имеет следа на , если не налагать на нее дополнительных условий.

Выше были сформулированы В. т. для классов функций, определенных на всем n-мерном пространстве (см. [5]). Но для приложений важно иметь подобные теоремы для возможно общпх областей . В настоящее время выяснена геометрич. структура областей , для к-рых верны указанные теоремы вложения для W-, В- и H-классов, где надо заменить соответственно на . Для изотропных классов , область должна удовлетворять условию конуса или, что равносильно, граница ее должна удовлетворять локально условию Липшица. Для анизотропных же классов область должна удовлетворять условию -рога или изогнутого конуса ( конуса условие). и это условие является в известном смысле необходимым (см. [2]).

Для приложений важна еще проблема о следах на m-мерных многообразиях .

Для изотропных классов W, Н, В эта проблема решена полностью (см. [2], [16]), если достаточно много раз дифференцируемо при в (14), (15) и (16) можно заменить на , а в (19), кроме того, можно заменить Я на В. В случае кусочно гладких этот вопрос тоже в ряде случаев решен до конца ([16], [22]), условия, решающие проблему, выражаются, с одной стороны, указанными выше взаимно обратными вложениями на отдельных гладких кусках , а с другой- специальными дополнительными условиями на поведение функций соответствующих классов на стыках этих гладких кусков. Существенно продвинута также проблема следов для анизотропных классов ([9], [21] ). Здесь возникают особые затруднения характеристики следа в точках , касательные плоскости к к-рым параллельны осям координат.

Остановимся еще на одной задаче. Пусть функция

где означает один из рассмотренных выше классов. Спрашивается, какие она имеет частные смешанные производные и каковы пх свойства? Положительный ответ на этот вопрос зависит от величины

Именно, если то существует частная производная принадлежащая к пространству при условии, что . В случае же пространств это условие можно расширить, считая (см. [5]).

Приведем еще характерную теорему, к-рую естественно назвать теоремой об ослабленной компактности и к-рая имеет применение в теории прямых методов вариационного исчисления.

Из бесконечного множества функции f, удовлетворяющих неравенству

где - заданная константа, а - один из рассмотренных выше классов, можно выделить последовательность функций и указать такую функцию с нормой

что какова бы ни была ограниченная область ц вектор

(см. [5]). В этой формулировке может быть заменено на область , если она имеет достаточно хорошую границу. Выше были рассмотрены только характерные классы функций и связанные с ними теоремы вложения, наиболее часто встречающиеся в приложениях. В современных исследованиях большое внимание [2] уделяется классам более общим, где роль исходных частных производных играют более или менее произвольные дифференциальные операторы.

Изучаются еще так наз. весовые классы, характерным примером к-рых является класс , определяемый следующим образом. Пусть есть расстояние от точки ждо границы Г области . Функция f принадлежит к если для нее конечна норма (см. [4], [12])

где

Приведем только один результат. .Пусть - достаточно гладкая граница тизмерений; тогда

если

Пример. Использование В. т. полностью решает вопрос об условиях на граничную функцию, при к-рых применим Дирихле принцип. Именно, понимая частные производные в обобщенном смысле и считая для простоты, что поверхность Г (граница трехмерной области) ограничена и дважды дифференцируема, задаем на функцию . Для нее Дирихле интеграл и, кроме того, по В. т.

имеет след на Г (факт существования следа у устанавливался при помощи более грубых В. т.). Обозначив через класс функций , имеющих тот же след на Г, что и можно сформулировать принцип Дирихле следующим образом: минимум среди функций достигается для единственной функции и к тому же гармонической на . Из приведенной В. т. следует, что принцип Дирихле применим тогда и только тогда, когда класс не пуст, т. е. когда граничная функция

При обосновании принципа Дирихле сначала доказывается существование и единственность функции , а также тот факт, что иесть обобщенное решение задачи Дирихле, а затем при помощи специального метода последовательно устанавливается, что обобщенное решение принадлежит классам , где а - произвольный замкнутый шар. В частности, из того факта, что , на основании В. т.

(см. [2] и [5]) при заключаем, что функцию иможно видоизменить на множестве трехмерной меры нуль так, чтобы полученная функция была дважды непрерывно дифференцируема на . После этого легко доказывается, что -гармоническая.

Приведенный пример может быть значительно обобщен на нек-рые функционалы, в к-рые входят частные производные разных порядков, возведенные в степень, вообще не равную 2 (), и тогда появляется необходимость применения В. т. для более общих классов, вообще говоря, анизотропных.

Лит.:[1] Сб. дифференциальные уравнения с частными производными, М., 1970, с. 38-63; [2] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1974; [3] Буренков В. И., Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций многих переменных во всем пространстве, в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1965, М., 1966: [4] Никольский С. М., "Успехи матем. наук", 1961, т. 16, в. 5, с. 63-114; [5] его же. Приближение функции многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; [6] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950 [7] его же. Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974: [8] Бесов О. В., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, г. 60, с. 42-81; [9] Бугров Я. С., "Сиб. матем. ж.", 1964, г. 5, № 5, с. 1007-26; [10] Ильин В. П., "Докл. АН СССР", 1954, т. 96, № 5, с. 905-8; [11] Кондратов В. И., там же, 1945, т. 48, с. 563-6; [12] Кудрявцев Л. Д., "Труды Матем. Ин-та АН СССР", 1959, т. 55, с. 1 - 182; [13] Лизоркин П. И., "Докл. АН СССР", 1960, т. 132, № 3, с. 514-17; [14] его же, "Матем. сб.",

1963, т. 60, в. 3, с. 325-53; [15] Никольский С. М., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1951, т. 38, с. 244-78; [16] его же, "Матем. сб.", 1953, т. 33, в. 2, с. 261-326; 1957, т. 43, в. 7, с. 127-44; [17] Соболев С. Л., "Докл. АН СССР", 1935, т. 3, JV" 7, с. 291-4; [18] его же, "Матем. сб.", 19.46, т. 1, в. 1, с. 39-72; 1938, т. 4, в. 3, с. 471-97; [19] Слободецкий Л. Н., "Докл. АН СССР", 1958, т. 118, в. 2, с. 243-6; [20] Успенский С. В., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 60, с. 282-303; [21] его же, "Докл. АН СССР", 1965, т. 164, № 4, с. 750-2: [22] Яковлев Г. Н., "Труды Матем. ин-та АН СССР", 1961, т. 60, с. 325-49; [23] Gagliardo Е., "Rend Semin. matem. in-ta di Padova", 1957, t. 27, p. 284- 305; [24] Hardу G. H., Lilttlewood J.E., "Math. Z.", 1928, Bd 28, №4, S. 612 - 34: [25] Lions J. L., Ma genes E., Problemes aux limites non homogebes et applications, P., 1968, v. 1-2. С. М. Никольский.