Интеграл Меллина

Интеграл Меллина—Барнса (Mellin—Barnes integral) или интеграл Барнса (Barnes integral) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция "Бернс") в 1908—1910 годах^[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина^[en][3].

Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от $-i\infty$ до $+i\infty$), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа $\Gamma(a_i+s)$ (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа $\Gamma(b_i-s)$ (которые должны оставаться справа)^[4].

Гипергеометрические функции

Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:

${}_2F_1(a, b; c | z) =\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} \frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(c+s)}(-z)^s\,{\rm d}s.$

Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции $\Gamma(-s)$ в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.

Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие обобщённой гипергеометрической функции^[en] _pF_q^[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой G-функции Мейера^[en], представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким^[6].

Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как функции Аппеля^[en][7], функции Кампе-де-Ферье^[en][8], функции Лауричеллы^[en][9] и другие.

Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для базисных гипергеометрических рядов^[en], и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты^[10].

Леммы Барнса

Первая лемма Барнса гласит^[1]

$\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(d-s)\; {\rm d}s =\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}.$

Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции ${}_2F_1(a, b; c | z)$ при $z=1$. Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.

Вторая лемма Барнса гласит^[2]

$\frac{1}{2\pi i} \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(1-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(e+s)}\; {\rm d}s$

$=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1-d+a)\Gamma(1-d+b)\Gamma(1-d+c)}{\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)}$

где $e=a+b+c+d+1$. Эта формула является аналогом формулы суммирования Заальшютца^[en].

Примечания

1. ↑ ^{1 2} E.W. Barnes (1908), "«A new development of the theory of the hypergeometric functions»", Proc. London Math. Soc. Т. s2-6: 141–177, DOI 10.1112/plms/s2-6.1.141 
2. ↑ ^{1 2} E.W. Barnes (1910), "«A transformation of generalised hypergeometric series»", Quarterly Journal of Mathematics Т. 41: 136–140 
3. ↑ Eric W. Weisstein Mellin Transform (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 12 сентября 2012.
4. ↑ Eric W. Weisstein Mellin-Barnes Integral (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 12 сентября 2012.
5. ↑ Eric W. Weisstein Generalized Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
6. ↑ Eric W. Weisstein Meijer G-Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
7. ↑ Eric W. Weisstein Appell Hypergeometric Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
8. ↑ Eric W. Weisstein Kampé de Fériet Function (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
9. ↑ Eric W. Weisstein Lauricella Functions (HTML). MathWorld — mathworld.wolfram.com. Проверено 10 октября 2012.
10. ↑ George Gasper and Mizan Rahman "Basic hypergeometric series". — 2nd. — Cambridge University Press, 2004. — Vol. 96. — ISBN 978-0-521-83357-8

Литература

• R.B. Paris and D. Kaminski "Asymptotics and Mellin—Barnes integrals". — Cambridge University Press, 2001. — 422 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Appications, v.85). — ISBN 0-521-79001-8