Интеграл Римана

Интеграл Римана — Стилтьеса — обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 году Стилтьесом. Вместо предела обычных интегральных сумм

$\sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )(x_i - x_{i - 1}) }$

рассматривается предел сумм

$\sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )(j(x_i) - j(x_{i - 1})) },$

где интегрирующая функция $j(x)$ есть функция с ограниченным изменением (ограниченной вариацией). Если $j(x)$ непрерывно дифференцируема, то он выражается через обычный интеграл:

$\int\limits_a^b f(x)\,dj(x) = \int\limits_a^b f(x)j'(x)\,dx$ (если последний существует).

Литература

• У. Рудин Основы математического анализа — М.: Мир, 1976