Интеграл Даниеля

Интеграл Даниеля

Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса).

Содержание

Определение

Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство H ограниченных действительнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на множестве X, удовлетворяющее следующим аксиомам:

  1. H — линейное пространство с обычными операциями сложения и умножения на скаляр.
  2. h(x)\in H\Rightarrow|h(x)|\in H.

Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал I, называемый элементарный интеграл.

В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество Z, являющееся подмножеством X, имеет меру ноль, если для любого \varepsilon>0 существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций h_p(x)\in H такая, что Ih_p<\varepsilon и \sup_p h_p(x)\geqslant 1 на Z.

Если некоторое условие выполняется на X везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество L^+, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей \{h_n\} элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов Ih_n ограничено. Интеграл функции f\in L^+ по определению равен:

If=\lim_{n\to\infty}Ih_n.

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности \{h_n\}.

Свойства

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Рисса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию \chi(x) некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

Преимущества перед классическими определениями

Такое построение обобщённого интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Даниелю интеграл строится более просто.

См. также

Ссылки

  • Daniell, Percy John, 1918, «A general form of integral», Annals of Mathematics 19:: 279-94.
  • ------, 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
  • ------, 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
  • ------, 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
  • ------, 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
  • Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Интеграл Даниеля" в других словарях:

  • ДАНИЕЛЯ ИНТЕГРАЛ — расширение понятия интеграла, предложенное П. Даниелем [1]. Схема построения этого интеграла наз. схемой Даниеля, представляет собой продолжение на более широкий класс функций интеграла, определенного первоначально для нек рой совокупности… …   Математическая энциклопедия

  • СИЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ — интеграл лебеговского типа от функций со значениями в линейном топологич. пространстве по скалярной мере или от скалярной функции по мере со значениями в векторном пространстве. При этом предельные процессы, с помощью к рых определяется интеграл …   Математическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

  • ОТОБРАЖЕНИЕ — однозначное закон, по к рому каждому элементу нек рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами и записывается в… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»