- Интеграл Даниеля
-
Одна из основных трудностей в использовании традиционного интеграла Лебега состоит в том, что его применение требует предварительной разработки подходящей теории меры. Существует другой подход, изложенный Даниелем (англ.) в 1918 году в его статье «Общий вид интеграла» («Annals of Mathematics», 19, 279), не имеющий этого недостатка и имеющий значительные преимущества при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса).
Содержание
Определение
Основная идея состоит в аксиоматизации понятия интеграла. Рассмотрим семейство
ограниченных действительнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на множестве
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
— линейное пространство с обычными операциями сложения и умножения на скаляр.
Кроме того, на пространстве элементарных функций определяется положительно определённый непрерывный линейный функционал
, называемый элементарный интеграл.
В этих терминах можно определить множества меры ноль. Множество
, являющееся подмножеством
, имеет меру ноль, если для любого
существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций
такая, что
и
на
.
Если некоторое условие выполняется на
везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.
Рассмотрим множество
, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей
элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов
ограничено. Интеграл функции
по определению равен:
Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности
.
Свойства
С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Рисса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.
Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля
Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию
некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.
Преимущества перед классическими определениями
Такое построение обобщённого интеграла имеет некоторые преимущества перед методом Лебега, особенно в функциональном анализе. Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу. По Даниелю интеграл строится более просто.
См. также
Ссылки
- Daniell, Percy John, 1918, «A general form of integral», Annals of Mathematics 19:: 279-94.
- ------, 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
- ------, 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
- ------, 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
- ------, 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
- Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.
Категории:- Математический анализ
- Интегральное исчисление
- Интегралы
Wikimedia Foundation. 2010.