- ЛЕБЕГА ИНТЕГРАЛ
- одно из наиболее важных обобщений понятия интеграла. Пусть
- пространство с неотрицательной полной счетноаддитивной мерой
причем
Простой ф у. н к ц и е й наз. измеримая функция
принимающая не более счетного множества значений:
Простая функция gназ. суммируемой, если ряд
сходится абсолютно; сумма этого ряда есть интеграл Лебега:
Функция
суммируема на
если существует равномерно сходящаяся на множестве полной меры к f последовательность простых суммируемых функций gn и предел
конечен. Число I есть интеграл Лебега:
Определение корректно: предел I существует и не зависит от выбора последовательности gn. Если
то I - измеримая почти всюду конечная функция на X. Л. и. есть линейный неотрицательный функционал на
обладающий следующими свойствами:
В случае, когда
интеграл Лебега
определяется как
при условии, что этот предел существует и конечен для любой последовательности Е п такой, что
В этом случае свойства 1), 2), 3) сохраняются, а свойство 4) нарушается. О переходе к пределу под знаком Л. и. см. Лебега теорема. Если Аесть измеримое множество X, то Л. и.
определяется или, как указано выше, заменой Xна А , или как
где
- характеристич. функция А;эти определения
эквивалентны. Если
для
любого измеримого
Если
измеримо для каждого п, для
Обратно, если при тех же условиях на А n для каждого
и
то
и верно предыдущее равенство (
-аддитивность Л. и.).
Функция множества
абсолютно непрерывна относительно
если
то F(А).есть неотрицательная абсолютно непрерывная относительно
мера. Обратное утверждение представляет Радона - Никодима теорему.
Для функций
название "интеграл Лебега" применяется к соответствующему функционалу, если мера
есть Лебега мера;при этом множество суммируемых функций обозначается просто L(Х).и интеграл
Для других мер этот функционал наз. Лебега-Стилтьеса интегралом.
Если
- неубывающая абсолютно непрерывная функция, то
Если
-мо-
нотонна на
и существует точка
такая, что
(вторая теорема о среднем).
А. Лебег дал в 1902 (см. [1]) определение интеграла для
и меры
являющейся мерой Лебега. Он строил простые функции, равномерно приближающие почти всюду на множестве конечной меры Еизмеримую неотрицательную функцию
и доказал существование общего предела (конечного или бесконечного) интегралов этих простых функций при стремлении их к f. Л. и. является базой для различных обобщений понятия интеграла. Как отметил Н. Н. Лузин [2], свойство 2) - т. н. абсолютная интегрируемость, выделяет Л. к. для
из всевозможных обобщенных интегралов.
Лит.:[1] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.- Л., 1934; [2] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981. И. А. Виноградова.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.