Дискретное метрическое пространство

Дискретное метрическое пространство

Дискре́тное простра́нство в общей топологии и смежных областях математики — это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле.

Содержание

Определения

\varrho(x,y) = \left\{
\begin{matrix}
1, & x \not=y \\
0, & x = y
\end{matrix}
\right., \quad x,y\in X.

Тогда \varrho называется дискре́тной ме́трикой, а всё пространство называется дискре́тным метри́ческим простра́нством.

Замечание

Топология, индуцированная дискретной метрикой, является дискретной. Обратное, вообще говоря, неверно. Метрика, не являющаяся дискретной, может порождать дискретную топологию.

Примеры

  • Пусть X = \{ 1,\ldots, n\}, где n \in \mathbb{N}, и \varrho — дискретная метрика на X. Тогда (X,\varrho) — дискретное метрическое, а следовательно и топологическое пространство.
  • Пусть X = \{1/n\}_{n \in \mathbb{N}}, и \varrho(x,y) = |x-y|. Очевидно, заданная метрика не дискретна. Однако, она порождает дискретную топологию.

Свойства

  • Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда множество, содержащее лишь одну любую его точку, открыто.
  • Множества, содержащие любую одну точку дискретного топологического пространства, являют собой базу дискретной топологии.
  • Дискретное топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно.
  • Дискретное метрическое пространство ограничено.
  • Любые два дискретных топологических пространства, имеющих одинаковую мощность, гомеоморфны.
  • Любая функция, определённая на дискретном топологическом пространстве, непрерывна.
  • Дискретное подмножество евклидова пространства не более чем счётно. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Дискретное метрическое пространство" в других словарях:

  • Дискретное топологическое пространство — Дискретное пространство в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры 4 Свойства …   Википедия

  • МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество Xвместе с нек рой метрикойr на ном. Теоретико множественный подход к изучению фигур (пространств) основан на исследовании взаимного расположения составляющих их элементарных частей. Одной из фундаментальных характеристик взаимного… …   Математическая энциклопедия

  • Дискретное пространство — в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры …   Википедия

  • Дискретное множество — Дискретное пространство в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры 4 Свойства …   Википедия

  • Сепарабельное пространство — (от лат. separabilis  отделимый) топологическое пространство, содержащее конечное или счётное всюду плотное множество. Многие пространства, возникающие в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные… …   Википедия

  • Дискретная топология — Дискретное пространство в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры 4 Свойства …   Википедия

  • Дискретная метрика — Дискретное пространство в общей топологии и смежных областях математики это пространство, в котором все точки изолированы друг от друга в некотором смысле. Содержание 1 Определения 2 Замечание 3 Примеры 4 Свойства …   Википедия

  • Шар — Запрос «Шар» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Шар Шар геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется …   Википедия

  • Шар (метрическая геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шар. Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания …   Википедия

  • Открытый шар — Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания 2 Свойства 3 Примеры …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»